Le calcul d'une dérivée

[invitebe1f7df2]

Bonjour à tous,

Je suis entrain d'apprendre en ce moment les dérivée et il y a quelque chose qui me chiffonne et que je n'arrive pas à comprendre,
En fait, je trouve ça tout simplement dingue de pouvoir calculer la trajectoire d'une courbe sans faire une étude approfondis de celle-ci...
Et quand j'apprend souvent beaucoup plus facilement quand j'ai une petite idée du résultat...

Alors ma question est la suivante : Quel donnée a t'on besoin pour calculer une courbe ?

(je parle bien des données pas du calcul en lui même) par exemple pour faire l'aire d'un rectangle, il faut au minimum la longueur et la largueur de celui-ci, mais pour une courbe ? de quel donnée a t'on besoin ? Sa me parait presque magique de pouvoir mettre en équation une courbe quelconque sans que cet équation fasse 10 pages recto-verso ... Hors la magie n'existe que dans les livres ...

Merci d'avance pour vos réponse
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[invite621f0bb4]

On peut pas "calculer une courbe", on peut par contre déterminer son équation J'imagine que c'est plutôt ça ta question.

"pouvoir calculer la trajectoire d'une courbe"
Tu verras l'année prochaine en physique comment on peut faire pour déterminer l'équation d'une trajectoire (donc dans un repère, l'équation d'une courbe) à partir de quelques informations de départ (vitesse initiale du lancer, angle d'inclinaison du lancer etc...). MAis ça fait appel aux primitives, sorte d'opération inverse de la dérivée (on connait la dérivée et on en déduit la fonction qui correspond, qui s'appelle alors primitive).

"pour faire l'aire d'un rectangle, il faut au minimum la longueur et la largueur de celui-ci, mais pour une courbe ?"
Ben... Une courbe pour rappel c'est la représentation graphique d'une infinité de points : l'image par une fonction de tous les points d'abscisses appartenant à un intervalle d'étude. Donc de quoi a-ton besoin ? Ben de l'image de tous ces points

Si c'est pour calculer l'aire (parce que tu prenais l'exemple de l'air d'un rectangle), ça fait appel à la notion d'integrale que tu verras l'année prochaine aussi, et qui est liée d'ailleurs aux primitives.

J'esprèe t'avoir un peu éclairci, mais si ça se trouve je suis à côté de la question ^^

[invitea3eb043e]

Le truc, c'est qu'en classe, on se limite en général à des courbes simples, qu'on peut tracer à la main pourvu qu'on connaisse les maximums et quelques points. Il est important de savoir quand la courbe monte et quand elle descend.
Mais on peut aisément créer des cas vicieux, par exemple la fonction f(x) = 2 x + sin(x²)
Elle est toujours croissante mais je te mets bien au défi de la tracer à la main !

[invite427a7819]

Bonjour,

Je crois que votre fonction n'est pas toujours croissante... Quand je la dérive (justement) j'obtiens f'(x) = 2 + 2x*cos(x²) dont le signe me semble bien varier si x est assez grand (disons, à partir de 2).

Celle-là est franchement vicieuse, mais un des apports de la dérivation est justement de pouvoir tracer une approximation de la courbe (sans forcément avoir son expression). Je ne sais pas si on vous l'a introduite comme ça, mais on peut voir la dérivée d'une fonction en un point comme la pente de la tangente à la courbe qui la représente (la fonction)... La tangente étant une droite qui va coller à la courbe et donc en réaliser une bonne approximation.

L'idée va être de partir d'un point connu de la fonction, puis de calculer la dérivée de la fonction en ce point. Connaissant un point et une pente, on est capable de calculer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point, qui ne va pas être trop éloignée de la vraie courbe sur un petit intervalle autour du point choisi. On recommence un peu plus loin avec les valeurs approchées, et de proche en proche on a une suite de segments de droites - tout à fait traçables - qui devrait ressembler à la courbe représentative de la fonction !

C'est le concept de la méthode d'Euler, qui existe sous plusieurs variantes (plus ou moins efficaces). L'approximation est d'autant meilleure que les valeurs de la dérivée ne sont pas trop grandes (donc sur l'exemple de Jeanpaul ça pourra donner des résultats aberrants si on est loin de 0).


Pour en revenir à la question de départ, donc : on peut tracer une approximation de la courbe représentative d'une fonction dès qu'on connaît sa dérivée et sa valeur en un point, ce qui peut être bien pratique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

C'est juste mais je l'a vu trop tard, il vaudrait mieux prendre la racine de x dans le sinus et non le carré.

[invite621f0bb4]

Pour compléter la dernière remarque d'Elwyr, tu verras l'année prochaine que la fonction exponentielle est introduite par sa dérivée. (En tout cas nous on 'la introduite comme ça)