Déterminer nombres réels pour que lim(f(x)) = a

[The_Anonymous]

Bonjour à tous!

Me revoilà de retour pour une nouvelle série d'exercices, et je bloque déjà sur le premier

Tout de suite l'énoncé :

Exercice 1. Comment faut-il choisir les deux nombres réels a et b pour que

?

Je ne sais pas trop...

-Essayer à tâtons? ça ferait un peu bizarre...

-Une idendité remarquable? Je n'en vois pas trop....

-Dire qu'on a au dénominateur 0 quand x tends vers 0 donc qu'il n'y a pas de solution? Ça serait un peu facile, surtout que si on a une forme indéterminé, cela n'est pas impossible... (Style sin(x)/x, x->0 le dénominateur vaut 0 pourtant lim = 1 (excusez la mise en page vite faite))

Je ne sais pas trop par quel moyen procéder, surtout que cela ne corresponds à aucun passage de ma théorie, et je précise que nous n'avons pas vu intégrales/primitives/dérivées...

Merci d'avance pour votre aide si précieuse

Cordialement

Brazeor
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[jamo]

Bonjour
juste une idée ( to try ) : essaie de mettre le dénominateur sous forme canonique .

[Elwyr]

Justement, ça vous fait une première piste. Pour pouvoir espérer que la limite vaille 1, il faut que vous ayez une forme indéterminée... Là, votre numérateur ne tend pas a priori vers 0 (mais ça devra vous fournir une condition sur a et b).

Cette première condition étant réalisée, vous aurez la joie de pouvoir simplifier un peu votre fraction (en mettant des x en facteur) : vous devriez alors être en mesure de calculer la limite du quotient en fonction de a et b et égaliser à 1 pour avoir une deuxième relation sur a et b. Deux relations, deux inconnues : il me semble que ça a de bonnes chances de vous permettre de conclure !

[Teddy-mension]

Bon, alors je vais te faire une réponse très bizarre.
Quand x va tendre vers 0, ton dénominateur va tendre vers 0.

Autrement dis, quoique tu aies au numérateur, ta fraction tendra vers +oo ou -oo .. Sauf si tu as 0 au dénominateur ! (Forme indéterminée)
Donc pour moi, il faut que ton numérateur soit égal à 0 quand x tend vers 0, autrement dit, (a²-1)(b-2)=0 et donc produit de facteurs nul, toussa toussa..

Ce n'est qu'une hypothèse balancée très vite, mais c'est peut être pas la bonne réponse..

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Merci pour autant de réponses immédiates

J'ai simplifié déjà le numérateur en (a-1)(a+1)(b-2)+x(x+2)(x-2). Je ne sais pas si c'est util, mais c'est joli

Ensuite, pour ce qui est du dénominateur héhé, j'ai mis à la forme canonique et j'obtiens :

... Piouf!

Heureusement, quand je simplifie, je retombe sur mes pattes, à savoir , donc je pense que la forme canonique est juste...

Mais je ne vois pas en quoi cela fait avancer les choses... Je ne vois pas de simplification possible avec le numérateur, si je simplifie la forme canonique, je retombe sur le dénominateur de l'énoncé...

Vous pourriez m'éclairer s'il vous plaît?

Cordialement

[Elwyr]

Je ne pense pas que la mise sous forme canonique du dénominateur soit pertinente... Je trouve ça plus sympa tel qu'il est, on voit bien qu'il tend vers 0 ! Et donc qu'on voudrait que le numérateur tende vers 0 aussi (sinon, on aura pas de forme indéterminée, et la fraction tendra vers l'infini... Ce qu'on ne veut pas).

Essayez plutôt de voir à quelle condition le numérateur tend vers 0 puis, cette condition étant réalisée, à quelle condition la fraction tend vers 1.

[The_Anonymous]

Merci pour votre réponse!

Suivant ce que j'ai écris en #5 à propos du numérateur, comme x->0, on obitent (a-1)(a+1)(b-2)=0.

Donc, les solutions sont OU .

Et maintenant? Je n'ai pas très bien compris ce que je dois faire...

Remplacer par ces valeurs dans le dénominateur?

Merci d'avance! =)

[The_Anonymous]

Désolé pour le double-post, mes idées se bousculent... Par exemple, si on choisit a=+ ou - 1 et b=2, on a :

Au numérateur : 4x+x^3

Au dénominateur : 4x+ ou - 2x^2

Donc on simplifie : 4 + x^2 / 4 + ou - 2x = 4/4 = 1!

C'est bein ça? =)

[Elwyr]

Je vous crois sur parole pour les calculs. J'essaierais toutefois une démarche un peu plus générale...

Vous avez trois cas à traiter : a = 1, a = -1, b = 2. Vous remplacez une des variables par sa valeur, ça suffit à faire tendre votre numérateur vers 0 : en fait vous pouvez simplifier votre fraction par x.

Une fois ceci fait, votre fraction n'est plus une forme indéterminée : vous pouvez faire le quotient des limites sans vous poser de question et avoir la limite de la fraction en fonction d'une (et une seule) des deux variables. Vous en déduisez que cette limite vaut un si, et seulement si... Il vous reste une équation à résoudre, qui vous donnera une (ou plusieurs ou pas) de solutions dans chaque cas.

Après avoir étudié tous les cas, vous pouvez conclure.

[The_Anonymous]

Merci beaucoup Elwyr!

J'ai étudié les trois cas : a=-1, a=1 et b=2 (je vous épargne les détails) et j'obtiens :

Si a=-1 alors b=2; Si a=1 alors b=2 et si b=2 alors a=1 ou a=-1.

Conclusion correcte?

[Elwyr]

J'ai pas fait les calculs, donc on va dire sûrement !

Bonne continuation.

[The_Anonymous]

Merci énormément!

Bonne continuation à vous aussi