Théorème Valeur Intermédiaire - Continuité d'une fonction

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde!

Voici l'énoncé de l'exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Exercice 1. Utilise le Théorème de la Valeur Intermédiaire pour montrer que la fonction



n'est pas continue.

Je ne sais pas trop comment procédé :

-En simplifiant la fonction du style : pour ensuite montrer que n'est pas continue.

-Calculer deux points précis pour trouver avec le Théorème que la fonction n'est pas continue... Mais comment? Peut-on avec deux points (ou plus) prouver, suivant leur image, que la fonction n'est pas continue?

De plus, je n'arrive pas à tracer le graphe (si quelqu'un arrive à le tracer pour moi, merci beaucoup! ), comme le signe "partie fractionnaire" ne marche pas... (Wolfram alpha, traceurs de graphes quelconques...).

Merci d'avance pour votre aide

Cordialement

Brazeor
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[Elwyr]

Bonjour !

Dans la définition de votre fonction f, vous avez une partie entière... Donc cette fonction ne prend que des valeurs entières. Si vous supposez de plus qu'elle est continue, vous pouvez appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, et probablement arriver à une contradiction du genre "ma fonction prend les valeurs 10 et 11, mais jamais 10,5". La deuixème piste que vous offrez est donc pour moi la meilleure !

[The_Anonymous]

Merci beaucoup!

J'ai rédigé ainsi (je vous mets les grandes lignes...) :

et .

Par le Théorème, on doit avoir une valeur pour laquelle l'image vaut entre 10 et 11, mais comme la valeur absolue de la partie entière de tangeante de x au carré est forcément entière tout comme 10, l'ensemble des images de la fonction seront des entiers -> Contradiction!

Merci encore une fois énormément

[The_Anonymous]

Je profite de ce topic pour poser la question : connaissez-vous un traceur de graphe qui peut tracer des fonctions avec "partie décimale" et "partie entière" s'il vous plaît?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

dans le logiciel Orge, la fonction ent donne la partie entière. fabriquer la la partie décimale est facile ensuite.
Pour le téléchargement voir http://www.ac-poitiers.fr/math/prof/logic/cha4/ (quelques problèmes ce soir, le serveur de téléchargement semble bloqué, vacances ?).
Scilab doit aussi utiliser la même syntaxe.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Merci beaucoup gg0 !

[The_Anonymous]

Désolé de vous solliciter encore et encore, mais je bloque sérieusement, j'aurais besoin de votre aide...


Exercice 1. On considère la fonction

.

(a) Calcule f(x) lorsque et conclus qu'elle est continue sur .

(b) Calcule f(x) lorsque et conclus qu'elle est continue sur .

(c) Calcule f(x) lorsque pour .

(d) Montre que la fonction est discontinue en .

Pas de soucis pour la (a) et la (b), j'ai simplement calculé avec les propriétés des valeurs absolues sur les ensembles et j'arrive à trouver que la fonction est continue sur les ensembles voulues.

Pour la (c), j'hésite déjà un peu plus... J'ai calculé et , et je trouve pour les deux un résultat de 1, donc, en disant que la fonction est croissante, je trouve .

Mais pour la (d), les choses se compliquent....

Pour montrer que f n'est pas continue en (1/n), je me suis dis qu'il fallait montrer que :

.

Mais le problème, c'est que je trouve ...

Quelqu'un peut-il me venir en aide s'il vous plaît?

Vous avez déjà mon extrême reconnaissance...

Cordialement

[Elwyr]

Hmmm... Tu parles de valeur absolue et il y a une partie entière dans la définition de f, c'est une coquille ?

Sinon, je pense que tu auras du mal à conclure avec deux inégalités larges... Mais quelle propriété intéressante a la partie entière de 1/x lorsque ? Du coup, que se passe-t-il quand x tend vers en lui étant supérieur ? Et en lui étant inférieur ? (et si possible, plus grand que ...)

[The_Anonymous]

Oups ! Désolé pour la coquille, pas de valeurs absolues, mais bien la partie entière... Merci

Mais quelle propriété intéressante a la partie entière de 1/x lorsque ?

Je dirais :

... (Pour le premier signe, il y a aussi "ou égal à", non?)

Du coup, que se passe-t-il quand x tend vers en lui étant supérieur ? Et en lui étant inférieur ? (et si possible, plus grand que ...)

Euh.. Là, j'ai plus de peine...

Bah je dirais que des deux côtés (à gauche et à droite), tend vers ...

J'ai un peu de mal... Vous pourriez encore m'expliquer s'il vous plaît? Merci énormément!

Cordialement

[Elwyr]

Justement, non. L'inégalité stricte est très importante ici.

Une définition de la partie entière de x peut être "le plus grand entier inférieur ou égal à x". Mathématiquement, c'est donc l'unique entier vérifiant :



Sachant ceci, si on a en passant à l'inverse (car la fonction inverse est décroissante) : n vérifie la définition de la partie entière de 1/x, c'est donc la seule et l'unique ! Si , c'est totalement différent : la partie entière de 1/x c'est n+1...

C'est de là que devient le problème. Si est constante et vaut n. Sa limite quand x tendra vers sera donc n... Et pas n+1, valeur de la fonction évaluée en

En réinjectant cela dans l'expression de f, vous devriez arriver aux discontinuités voulues.

[The_Anonymous]

J'ai bien réfléchi sur vos explications pendant 30 minutes, j'ai compris en certain nombre de choses, mais il y a encore des teucs sur lesquels je bloque...

D'abord, un grand merci, vous m'avez bien aidé .

Justement, non. L'inégalité stricte est très importante ici.

Une définition de la partie entière de x peut être "le plus grand entier inférieur ou égal à x". Mathématiquement, c'est donc l'unique entier vérifiant :



Sachant ceci, si on a en passant à l'inverse (car la fonction inverse est décroissante) : n vérifie la définition de la partie entière de 1/x, c'est donc la seule et l'unique ! Si , c'est totalement différent : la partie entière de 1/x c'est n+1...

J'ai parfaitement compris, je n'y aurais jamais pensé (c'est tellement ingénieux!), merci beaucoup!

Le seul truc sur lequel je bloque, c'est l'ordre des questions...

Pour la (c), il faut donc calculer avec le "plus petit ou égal à" pour arriver à f(x) = 1, mais pour le (d), on prend "strictement plus petit que" pour pouvoir introduire la définition de la partie entière.

C'est ça?

-------

Après, ça se complique....

C'est de là que devient le problème. Si est constante et vaut n. Sa limite quand x tendra vers sera donc n... Et pas n+1, valeur de la fonction évaluée en

En réinjectant cela dans l'expression de f, vous devriez arriver aux discontinuités voulues.

Je pense que je devrais utiliser un résultat que je viens de trouver juste avant, mais je ne vois pas lequel : pour moi, dans l'ensemble , pour , alors , mais pour , alors , pas n... Je ne vois pas comment vous expliquez que ...

En considérant que , j'essaie de réinjecter et ça me donne :

.

Je ne suis pas très sûr s'il faut passer par (1/n+1) pour y arriver, mais on demande bien à ce que la fonction soit discontinue en (1/n), pas en (1/n+1), non?

Désolé pour ce pavé, j'espère que j'aurais pu être compréhensible, et encore une fois mille merci pour votre aide (en fait pour ton aide Elwyr )

Cordialement

Brazeor

[Elwyr]

Non, justement, le calcul de la c) n'a pas vraiment de sens si vous réfléchissez sur l'intervalle fermé... Parce que votre fonction y a justement deux expressions différentes ! Sur l'intervalle ouvert à gauche, f(x) = n*x, et si x = 1/(n+1) alors f(x) = (n+1)*x (d'après les calculs qu'on a fait sur la partie entière).

Je ne suis pas sûr de suivre votre symbolique avec toutes ses flèches, après. Et je ne pense pas que ce que vous faites résolve la question suivante... Avant de détailler le raisonnement que je suis, quelques remarques sur ce que vous écrivez :

D'abord, vous ne pouvez pas écrire avant d'avoir montré que ça avait un sens (à savoir, que la limite à droite et à gauche sont les mêmes, ce qui n'est pas garanti, et en l'occurence faux). Elle n'a aussi (encore une fois a priori) rien à voir avec la limite de la fonction en 1/(n+1).

Autre remarque : je raisonne en 1/(n+1) par habitude, parce que pour conclure on doit comparer les limites à droite et à gauche de la fonction (pour x < 1/(n+1) et x > 1/(n+1)), donc sur deux intervalles de la forme donnée. Pour aller regarder à droite de 1/n, je devrais considérer l'intervalle ]1/n; 1/(n-1)], donc à expliquer que n >= 2, et puis traiter le cas n=1 à part... (ce qu'il faudra faire de toute façon, hein : montrer que f est discontinue en tout point de la forme 1/(n+1) pour n entier naturel positif, c'est exactement montrer que f est discontinue en tout point de la forme 1/n, pour n >= 2 et on retombe sur nos pattes). Bref : je préfère les points de la forme 1/(n+1), donc ce sont ceux que j'utilise.

Bien, pour ma méthode maintenant.

En fait, si vous considérez la restriction de la fonction f à l'intervalle , eh bien vous avez une fonction continue (la fonction qui à x associe n*x, c'est une fonction continue). Vous pouvez en déduire que (n*x, pour x = 1/(n+1), c'est la magie de la continuité). Or, en 1/(n+1) la partie entière de 1/x a changé... Et en calculant f(1/(n+1)) vous n'avez pas le même résultat !

Il faut ensuite traiter à part le cas n = 1... Donc à étudier ce qui se passe à gauche de 1 (parce qu'on a déjà vu qu'à droite, f était nulle).

Est-ce plus clair ?

[Elwyr]

Ah, désolé, je me suis relu un peu hâtivement... Et il est un peu tard pour arranger ça. Veuillez excuser la présentation un peu hâtive du message précédent, et en particulier ces flèches qui n'ont rien à faire dans cet intervalle... J'espère que le message passera tout de même.

(oui, les doublons, c'est pas très poli non plus, je ferai plus attention la prochaine fois).

[The_Anonymous]

Pardonnez-moi l'absence de citation, 3 fois que je recommence le message...

"Est-ce plus clair?"

- OUI! Un énorme merci, je ne suis pas très facile, merci pour votre persistance!

"Non, justement, le calcul de la c) n'a pas vraiment de sens si vous réfléchissez sur l'intervalle fermé... Parce que votre fonction y a justement deux expressions différentes ! Sur l'intervalle ouvert à gauche, f(x) = n*x, et si x = 1/(n+1) alors f(x) = (n+1)*x (d'après les calculs qu'on a fait sur la partie entière)."

- J'ai enfin compris! J'utilisais je-ne-sais quelle méthode - fausse en tous cas - je vois qu'il faut séparer les deux cas, dans l'un on a celui qui nous intéresse l'ensemble ouvert à gauche, et dans l'autre le petit cas qui énerve qu'on différencie. Sachez que je prends en compte votre remarque, merci beaucoup! (N'ayez pas l'impression d'aider dans le vent en tous cas ^^)

"Je ne suis pas sûr de suivre votre symbolique avec toutes ses flèches, après. Et je ne pense pas que ce que vous faites résolve la question suivante... Avant de détailler le raisonnement que je suis, quelques remarques sur ce que vous écrivez :

D'abord, vous ne pouvez pas écrire (...) avant d'avoir montré que ça avait un sens (à savoir, que la limite à droite et à gauche sont les mêmes, ce qui n'est pas garanti, et en l'occurence faux). Elle n'a aussi (encore une fois a priori) rien à voir avec la limite de la fonction en 1/(n+1).

Autre remarque : je raisonne en 1/(n+1) par habitude, parce que pour conclure on doit comparer les limites à droite et à gauche de la fonction (pour x < 1/(n+1) et x > 1/(n+1)), donc sur deux intervalles de la forme donnée. Pour aller regarder à droite de 1/n, je devrais considérer l'intervalle ]1/n; 1/(n-1)], donc à expliquer que n >= 2, et puis traiter le cas n=1 à part... (ce qu'il faudra faire de toute façon, hein : montrer que f est discontinue en tout point de la forme 1/(n+1) pour n entier naturel positif, c'est exactement montrer que f est discontinue en tout point de la forme 1/n, pour n >= 2 et on retombe sur nos pattes). Bref : je préfère les points de la forme 1/(n+1), donc ce sont ceux que j'utilise."

- Oui, en effet, j'ai calculé n'importe comment, mes limites n'ont pas de sens (Heureusement que S321 n'est pas là, sinon je me ferais taper sur les doigts ). Je comprends en fait, il faut simplement que je montre que dire que f n'est pas continue en 1/n revient à dire que f n'est pas continue sur 1/(n+1)... Merci, je comprends maintenant!

"Bien, pour ma méthode maintenant.

En fait, si vous considérez la restriction de la fonction f à l'intervalle (...) , eh bien vous avez une fonction continue (la fonction qui à x associe n*x, c'est une fonction continue)."

- Je vous suis parfaitement

"Vous pouvez en déduire que (...) (n*x, pour x = 1/(n+1), c'est la magie de la continuité). Or, en 1/(n+1) la partie entière de 1/x a changé... Et en calculant f(1/(n+1)) vous n'avez pas le même résultat !"

- deux choses :

-Question de notation : , c'est cela? (En gros approché par la droite...)

- , c'est juste?

"Il faut ensuite traiter à part le cas n = 1... Donc à étudier ce qui se passe à gauche de 1 (parce qu'on a déjà vu qu'à droite, f était nulle)."

- Mais n=1 pour (1/n) ou pour (1/(n+1)) ? Il me semble que l'on doit traiter pour (1/n) mais je ne suis pas très sûr... Je vais quand même essayer... ^^

Donc on a 1/1 tout simplement et donc pour x->1 on obtient 1*1 = 1... Euh... Il faudra que vous m'expliquiez ce que l'on cherche.. ^^

"Ah, désolé, je me suis relu un peu hâtivement... Et il est un peu tard pour arranger ça. Veuillez excuser la présentation un peu hâtive du message précédent, et en particulier ces flèches qui n'ont rien à faire dans cet intervalle... J'espère que le message passera tout de même.

(oui, les doublons, c'est pas très poli non plus, je ferai plus attention la prochaine fois)."

-Pas de soucis, je vous remercie déjà énormément pour votre aide, je vous suis très reconnaissant .

Sur ce (désolé pour le pavé ^^), j'espère que cette fois j'ai un peu mieux compris (dites-moi que ce que j'ai écris est juste pitié!), en attendant, je vous souhaite une bonne continuation (mode fatigué-je ne sais plus quoi écrire x) ).

Cordialement,

Brazeor

[Elwyr]

Bonjour !

D'abord, sur la question de notation : oui, celà revient au même, j'ai souvenir que ma prof en première n'aimait pas du tout la vôtre. On tend vers 1/(n+1) en lui restant suppérieur, quoi... Sans que ce soit tout à fait sans lien, pouvez-vous me donner votre syntaxe pour écrire les limites ? J'ai recopié celle qui se trouvait sur le site, je ne suis pas tout à fait satisfait du résultat... (peut-être est-ce simplement que tout mon blabla était un peu long ?)

Mais n=1 pour (1/n) ou pour (1/(n+1)) ? Il me semble que l'on doit traiter pour (1/n) mais je ne suis pas très sûr... Je vais quand même essayer... ^^

J'ai été un peu flou de ce côté là en effet... Disons que si on montre, pour n >= 1, la discontinuité voulue en 1/(n+1), au final on a montré la discontinuité en 1/n pour tout n >= 2. Il manque la discontinuité en 1 ! Faut donc l'étudier à part... Pas comme vous faites cela dit. Si tout va bien, vous avez montré que pour x > 1, f(x) = 0... Ce qui vous donne la limite à droite en 1, qui n'est pas non plus f(1).

Hormis cela ce que vous avez écrit me semble juste.
Bonne journée !

[The_Anonymous]

Ah je viens de comprendre! Par (b) lorsque x>1, f(x) = 0 (la partie entière vaut 0 -> x * 0 =0). Donc

, donc f(x) est discontinue en 1/n !

Est-ce correct?

Merci merci merci!

[The_Anonymous]

Euh... Je veux pas être lourd... Mais, c'est juste...?

Merci! =)