Homothétie, translation ou rotation ?

[mrme_7]

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour un petit exercice s'il vous plaît :

" Donner la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f d'écriture complexe : f(z) = iz + 1 "

Je sais qu'il faut chercher si c'est une rotation, translation ou homothétie et donner ses caractéristiques...

- Bon, ça n'est pas une translation à première vue, sinon on aurait une écriture telle que : f(z) = z + b (mais je ne sais pas si " b " peut-être COMPLEXE? ou il doit SEULEMENT être REEL?)

- Donc je cherche le point invariant qui sera le centre de la transformation, je pose donc f(z)=z'=z=iz+1 ... et je trouve que z=(1+i)/2
Donc, puisque je trouve que z est complexe, j'en déduis donc qu'il s'agit d'une rotation. Si j'aurai trouvé un z réel, ça aurait été une homothétie. (Est-ce que ce raisonnement est bon s'il vous plaît?)

- Comme il s'agit d'une rotation, je cherche donc l'angle... Et je trouve un angle de pi/4. (Est-ce bon? Car dans mon cours, la prof nous a juste donné la réponse qui était pi/2 (sans nous donner l'explication, car on devait la chercher à la maison). Mais d'après mes calculs, je trouve pi/4, donc qui a raison?)

Voilà, merci pour votre aide.
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[PA5CAL]

Bonjour

d'après mes calculs, je trouve pi/4, donc qui a raison?

La prof.

Quand on fait f(z)=i·z+1 , la multiplication par i provoque une rotation d'angle +π/2 autour de 0, et l'ajout du 1 déplace le centre de rotation. Globalement, on a une rotation d'angle +π/2 autour d'un point que tu as déjà déterminé.

Refais tes calculs.

[mrme_7]

D'accord merci, je viens de comprendre mon erreur pour le calcul de l'angle. En fait je me suis basé sur le centre que j'ai trouvé càd sur z=(1+i)/2
* cos(alpha) = (1/2)/(module(z)) et sin(alpha) = (1/2)/(module(z)) ... mais je n'aurais pas due!

Mais par exemple, si on aurait eu : f(z) = (2i+3)*z + 3 ... (j'espère que cela donne une rotation tout de même) Quelle méthode auriez-vous utilisé pour trouver l'angle s'il vous plaît?

[PlaneteF]

Bonjour,

- Bon, ça n'est pas une translation à première vue, sinon on aurait une écriture telle que : f(z) = z + b (mais je ne sais pas si " b " peut-être COMPLEXE? ou il doit SEULEMENT être REEL?)

peut être un complexe ...

Maintenant si tu poses la question, c'est que tu n'as pas bien saisi ce que représentait géométriquement --> Je t'invite à relire ton cours.

- Donc je cherche le point invariant qui sera le centre de la transformation, je pose donc f(z)=z'=z=iz+1 ... et je trouve que z=(1+i)/2
Donc, puisque je trouve que z est complexe, j'en déduis donc qu'il s'agit d'une rotation. Si j'aurai trouvé un z réel, ça aurait été une homothétie. (Est-ce que ce raisonnement est bon s'il vous plaît?)

Raisonnement complètement faux ... Il faut que tu revoies ton cours qui manifestement n'est pas bien assimilé.

Je te donne ce petit lien qui récapitule tout cela : http://homeomath.imingo.net/complex4.htm

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Mais par exemple, si on aurait eu : f(z) = (2i+3)*z + 3 ... (j'espère que cela donne une rotation tout de même)

Ce que tu écris là confirme mon message précédent, tu n'as pas bien assimilé ton cours.

Au 1^er coup d'oeil tu peux dire que ce n'est pas une rotation.

Je réitère mon invitation à ce que tu reprennes ton cours pour l'étudier à nouveau (ou regarde le lien que je t'ai donné, c'est très synthétique).


Cordialement.

[mrme_7]

Merci énormément pour le lien que vous m'avez donné! Cela m'a aidé à me remettre mes idées en place.

- J'ai compris pourquoi, dans une translation f(z) = z + b, b est un complexe : car c'est l'affixe du vecteur qui permet la translation. J'ai donc compris comment repérer au 1er coup d'oeil si c'est une translation : il suffit que " z " dans z' = z + b , ne soit multiplié par rien ou multiplié par 1. ( Est-ce le bon raisonnement svp ? )

- Pour repérer si c'est une rotation ou une homothétie. Il suffit de regarder si l'écriture complexe est de la forme z' = az + b, et il suffit d'examiner " a " (puisqu'on sait que " b " est un nombre complexe quelconque pour toutes les transformations)

1) Si a est un nombre COMPLEXE dont le module = 1 (et si a est différent de 1) alors c'est une rotation. Or le seul nombre complexe que je connaisse dont le module =1 , c'est " i " . Est-ce qu'il y en a d'autre? Sinon, cela veut dire qu'à chaque fois que je verrai une écriture du type z' = iz + b, je pourrai tout de suite en déduire que c'est une rotation d'angle pi/2. (il n'y a donc que des rotations d'angle pi/2 ?)

2) Si a est un nombre REEL (et si a est différent de 1) alors c'est une homothétie. Mais comment faire pour déterminer le rapport " k " de l'homothétie s'il vous plaît?

Merci

[gg0]

Bonjour.

"Pour repérer si c'est une rotation ou une homothétie." ?? ce peut être autre chose qu'une rotation ou une homothétie. par exemple f(z) = (2i+3)*z + 3 ne donne ni une rotation, ni une homothétie.

"Or le seul nombre complexe que je connaisse dont le module =1 , c'est " i " " !!! Et si tu reprenais le début du cours sur les complexes pour voir ce qu'est le module (représentation d'un complexe) et quelle est l'infinité des complexes de module 1 ?

"Si a est un nombre REEL (et si a est différent de 1) alors c'est une homothétie. Mais comment faire pour déterminer le rapport " k " de l'homothétie s'il vous plaît?" Tu l'as déjà !! voir ton cours.

Cordialement.

[PlaneteF]

(il n'y a donc que des rotations d'angle pi/2 ?)

Quel triste monde on aurait là :

Imagine deux amoureux qui seraient nés avec leur 2 regards faisant par exemple un angle de 45°, ... ils ne pourraient jamais s'embrasser sur la bouche

[PA5CAL]

le seul nombre complexe que je connaisse dont le module =1 , c'est " i " . Est-ce qu'il y en a d'autre?

(1-i)/√2 est aussi un nombre complexe de module égal à 1. Celui-là correspond à une rotation de –π/4.

[mrme_7]

Ok merci à tous pour votre aide! Je vais revoir tous ça!