Continuité, bijection, monotonie d'une fonction

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde!

J'ai encore un exercice que je ne comprends pas, si vous pouviez m'aider... Tout de suite l'énoncé :

"Exercice 1. Une bijection non monotone. Construisons une fonction en posant

.

(a) Cette fonction est-elle continue? Pourquoi?

(b) Montre que est bijective.

(c) Montre que n'est ni croissante, ni décroissante."

Bon, il me semble avoir compris que fait constamment des écarts entre x et x+1, suivant que x est rationnel ou réel... Le traceur de graphe devrait nous donner une zone "hachurée" entre x et x+1... Sauf erreur!

Pour la (a), euh... eh bien... c'est-à-dire que je ne sais pas trop si elle est continue ou pas... Pour moi, oui d'un côté du fait qu'en fait on a deux "lignes" x et x+1 (si on ne trace pas les sauts entre rationnels et réels) donc oui, mais en même temps je me dis qu'avec les limites on pourrait arriver, en approchant par des réels, à ce qu'un réel vaille x+1 et non pas x, donc qu'elle n'est pas continue... Et qu'elle soit continue ou pas, je pense qu'il faut quand même traîter les cas x rationnel et x réel séparremment (je ne sais pas, petite intuition... ), mais je ne sais pas s'il faut vérifier avec lim(f(x)), x-> a n'est pas égal à f(a) ou s'il faut se coltiner la défintion de continuité avec ces fameux mais énervant et ... Je vous laisse peut-être me mettre sur la voie...

Pour la (b), j'hésite entre deux méthodes... :

-Construire la fonction inverse pour montrer que c'est également une fonction (d'ailleurs je me demande qu'elle est cette fonction, je ne la trouve pas là...)

-Montrer que la fonction est respectivement injective et surjective, ce qui nous fait déduire qu'elle est bijective...

À nouveau, je vous laisse m'indiquer quel est le meilleur moyen, la manière la plus efficace, Ô âmes savantes!

Et finalement pour la (c), je pensais utiliser la densité de dans pour expliquer que 0>x>r>y>1 (x,y réels; r rationnel) ainsi que 0>r>x>s>1 (r,s rationnels; x réel) pour pouvoir montrer que f(x)>f(r)<f(y) et f(r)<f(x)>f(s) (je ne sais d'ailleurs même pas si la partie (x,r,s) est utile, peut-être qu'avec (x,r,y) cela suffit? ), donc que la fonction n'est ni croissante, ni décroissante, elle n'est pas monotone.

Je ne sais pas ce que vous pensez de cette technique, je vous laisse en juger...

Merci beaucoup de m'avoir lu,

En attendant vos réponses avec impatience,

Avec toute ma reconnaissance,

Je vous souhaite une bonne continuation (quelle coïncidence avec le sujet, n'est-ce pas!),

Brazeor

P.S. : Ok, ma blague était nul, je l'avoue...
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[PlaneteF]

Bonsoir,

(a) Cette fonction est-elle continue? Pourquoi?

Tu peux utiliser le Théorème des Valeurs Intermédiaires.

(b) Montre que est bijective.

Prend un élément quelconque, ... tu peux montrer facilement qu'il a un unique antécédent par .

Pour ce faire, distingue 2 cas : et

(c) Montre que n'est ni croissante, ni décroissante."

Tu es dans la bonne voie dans ce que tu proposes, mais en plus simple :

Soit /

La comparaison de et , ... puis de et te permet de conclure.

[PlaneteF]

Je vous souhaite une bonne continuation (quelle coïncidence avec le sujet, n'est-ce pas!),

Brazeor

P.S. : Ok, ma blague était nul, je l'avoue...

S'il n'y avait aucune blague le forum serait monotone

[The_Anonymous]

Merci PlaneteF pour cette réponse en tout heure! =)

S'il n'y avait aucune blague le forum serait monotone

Pas mal, pas mal, bien trouvé! xD

Pour revenir au sérieux...

Prenons depuis la fin... Héhé :

(c) Merci pour votre méthode, c'est vrai qu'il n'y avait pas besoin de se casser les pieds, tant qu'on démontre que pour a<b<c on a a<b>c (ou a>b<c), cela suffit... Bref, merci !

(b) Je définirai la fonction inverse : Si x est réel mais pas rationnel, et pour x rationnel, ...

est donc aussi une fonction, et sont des fonctions, donc f est une bijection.

(a) en fait... Je connais ce Théorème, oui, mais je ne vois pas comment l'utiliser... Prouve-t-il que la fonction est continue? Je dirais que non, si on l'utilise, cela doit être pour démontrer qu'elle ne l'est pas, mais pourquoi?

Ce théorème nous indique juste qu'entre deux rationnels par exemple on peut trouver par exemple un x+1 qui est un irrationnel... Mais cela prouve-t-il que la fonction est continue? J'en doute...

Désolé pour mon expression plus que mauvaise vu le temps, merci déjà pour votre aide! ^_^

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Intuitivement, une fonction est continue si deux valeurs suffisamment proches de x donnent des f(x) aussi proches que l'on veut. Est-ce le cas de ta fonction ? Regarde par exemple et f(3,14), f(3,1416), f(3,1415926), ...
Pour le théorème des valeurs intermédiaires, regarde vraiment ce qu'il dit (hypothèses, conclusion) et s'il permet de prouver une continuité. Puis regarde sa contraposée. Que permet-elle de prouver.

Cordialement.

[The_Anonymous]

Bonjour et merci de ta réponse, gg0

Je comprends le fait que si on approche un rationnel d'un réel "aussi proches que l'on veut", ces deux points ne seront plus qu'à une infime distance l'un de l'autre, contrairement à leurs images qui seront éloignées de la partie infime + 1, ce qui montre que le graphe "saute", je peux donc deviner d'après vos indications que cette fonction n'est pas continue...

Ensuite, pour une question de clarté, je vous mets l'énoncé de ce Théorème tel que je l'ai, je pense qu'on devrait avoir le même, mais on ne sait jamais... :

"Théorème (De la Valeur Intermédiaire.) Soit une fonction continue sur l'intervalle [a;b]. Alors pour tout nombre d compris entre le minimum et le maximum de il existe un tel que ."

Pour ce qui est de voir si ce Théorème permet de prouver une continuité, personnellement j'aurais dit non, mais évidemment que est faux, sinon vous en auriez pas parlé...

Le seul truc sur lequel je suis flou, c'est que pour tel que , est-ce que d doit impérativement appartenir à l'ensemble d'extrêmités le minimum et le maximum de ? Ou bien pas, car cela fait partie de l'hypothèse?

Ensuite pour la contraposée, je connais en logique que c'est :

.

Mais alors qu'est-ce que cela signifie dans le contexte?

Je dirais...

Si tel que , alors f n'est pas continue sur [a;b].

Mais je ne suis jamais sûr pour les négations...

C'est vrai que du coup pour prouver que f n'est pas continue, il faudrait montrer que tel que , et je ne sais pas trop comment procéder... Étant donné qu'on ne veut pas la discontinuité sur un ensemble mais bien sur , je ne sais pas trop...

Pouvez-vous m'aider?
Merci beaucoup!

Cordialement

[gg0]

Dans le TVI, la continuité est une hypothèse, donc on ne peut pas conclure à une discontinuité.
La contraposition permet de conclure la négation de la continuité à partir de la négation de la conclusion du TVI. C'est ce que t'a proposé PlaneteF.
La négation de "pour tout nombre ..." est "il existe un nombre ..." où la suite est à finir de nier.

Ton TVI est inutilement compliqué (minimum et maximum), mais a et b sont évidemment compris, c'est évident.

Cordialement.

[gg0]

Pour le TVI, la formulation simple :
"si f est continue sur l'intervalle [a,b], alors quel que soit y compris entre f(a) et f(b), il existe un c dans [a,b] tel que f(c)=y"
suffit à la plupart des cas.

Ici, la contraposée est donc :
"s'il existe un y compris entre f(a) et f(b) tel que pour tout c dans [a,b], f(c) est différent de y, alors f n'est pas continue sur [a,b]"

Cordialement.

[The_Anonymous]

Prenons a=3, b=4.

Pour tout c dans [3;4], il n'existe pas de f(c)=pi (on prend donc y=pi), puisque pi est dans [f(3);f(4)] = [3;4] , et que f^(-1) (pi) = pi -1 < 3 donc n'est pas compris dans [3;4].

Donc f est discontinue.

Le raisonnement est juste?

Merci d'avance!

(Désolé pour le message à l'arrache!)

[The_Anonymous]

Et juste encore une petite chose... Montrer qu'une fonction est discontinue sur un intervalle particulier montre aussi qu'elle est discontinue en général, non?

Merci!

[PlaneteF]

Prenons a=3, b=4.

Pour tout c dans [3;4], il n'existe pas de f(c)=pi (on prend donc y=pi), puisque pi est dans [f(3);f(4)] = [3;4] , et que f^(-1) (pi) = pi -1 < 3 donc n'est pas compris dans [3;4].

Donc f est discontinue.

Le raisonnement est juste?

C'est pas hyper clair, mais la démarche est OK.

Un moyen de présenter cette démonstration (qui revient strictement au même) est de faire d'entrée de jeu un raisonnement par l'absurde, ce qui donne :

Par l'absurde, supposons continue sur

Donc est continue sur

Et puisque et , et donc , ... alors d'après le TVI

Donc

Absurde !

[The_Anonymous]

Merci énormément encore une fois!

P.S. : Je vous embêterai plus avec ma topologie, maintenant, c'est vecteur! =)

Merci mille fois!

[PlaneteF]

(b) Je définirai la fonction inverse : Si x est réel mais pas rationnel, et pour x rationnel, ...

Pour être totalement rigoureux, il faut s'assurer que l'on a bien :

Pour pas de problème, on l'a directement par construction de

Idem pour quand

Par contre quand il y a une petite chose à justifier :

Dans ce cas :

Là pour pouvoir continuer il faut justifier que si alors .

Alors rien de bien compliqué à faire, encore faut-il le préciser si l'on veut être totalement rigoureux !

[The_Anonymous]

Merci beaucoup pour cette précision tout à fait pertinente, j'ai pu compléter mon exercice rigoureusement!

Bonne continuation!