Devoir maison de maths : tangente à la courbe d'une fonction

[invite77a850d8]

Bonsoir ! Je suis en première scientifique et j'ai un devoir maison à rendre.
J'ai un peu de mal pour l'exercice suivant :

Soit f et g deux fonctions définies sur R* par :
f(x) = x²/2
g(x) = 4/x

Soient Cf et Cg leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal (O ; i ; j)
Démontrer que les courbes admettent une tangente commune T (pas forcément au même point !) dont on donnera une équation.

J'ai commencé par trouver les dérivées des deux fonctions :
f'(x) = x
g'(x) = -4/x²

Ensuite j'ai voulu trouver les équation des tangentes des deux courbes en admettant a et b pour les points d'abscisses, pour ensuite me retrouver avec un système à deux inconnues (a et b) .

Je trouve a = -4/b²
b = 0
Je ne pense pas que mes résultats soient bons, ou j'ai même faux dans le raisonnement.. J'ai besoin d'aide s'il vous plait !!
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[gg0]

Bonsoir.

Ecris l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. y= ...
Ecris l'équation de la tangente à la courbe de g au point d'abscisse b (différent de 0, bien sûr !!); y = ..

S'il y a une tangente commune, c'est qu'il y a des valeurs de a et b qui donnent la même équation.

Donc comme on ne fera pas le travail à ta place, donnes les dux équations, ce que tu en déduis, on t'aidera à finir si tu n'as pas trouvé seul.

Bon travail !

[invite77a850d8]

Merci beaucoup ! Alors j'ai trouvé le résultat suivant :

- f au point d'abscisse a :

y = f'(a) (x -a) + f(a)
y = a ( x- a) + a²/2
y = ax - a² + a²/2
y = ax - a²/2

- g au point d'abscisse b :

y = g'(b) (x - b) + g(b)
y = -4/b2 + 4b/b² + 4/b
y = -4x/b² + 8/b

Après avoir trouvé ces deux équations (sont-elles justes ?) je fais le système :

f'(a) = f'(b)
ax - a²/2 = -4x/b² + 8/b

Je trouve a = -4/b²

Mais pour le b malgré de nombreux essaies je bloque ! pourtant je remplace a par -4/b² ...
Mais je tombe inlassablement sur b = b² ce qui n'est pas possible !

[gg0]

"Après avoir trouvé ces deux équations (sont-elles justes ?)" Oui, elles sont justes.
"je fais le système : ..." ?? pourquoi donc ? Et que veut dire pour toi "f'(a) = f'(b) " (Qui dit que la fonction dérivée de f prend la même valeur en a et en b ?? ça n'a rien à voir avec l'énoncé !!!

Ensuite, tu ne vas pas au bout de ce que tu peux déduire du fait que c'est la même équation !! Il y a deux coefficients dans une fonction affine. tu as 2 inconnues, il te faut les deux équations.

Allez, fais ton travail intelligemment.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite77a850d8]

Je voulais dire f'(a) = g'(b)

Bon je me remet au travail, intelligemment donc !

[gg0]

Je voulais dire f'(a) = g'(b)

C'est vrai, mais ce n'est plus la question. C'est la même droite, donc c'est deux fois la même équation. Donc ...

[invite77a850d8]

Donc .... je ne vois pas où vous voulez en venir !!

a et b ont des valeurs qui permettent de trouver la même droite ?

Je suis perdue

[invite77a850d8]

Moi j'étais partie pour faire un système d'équation à deux inconnues sachant que a = -4/b²

on remplaçait a par -4/b² dans l'égalité suivante :
ax - a²/2 = -4x/b²+8/b

Pour que les deux équations soient identiques il faudrait donc
a = -4/b²
et -a²/2 = 8/b

[invite77a850d8]

J'ai finis par trouver !

j'ai a = -4
b = -1

Après je remplace avec l'équation de la tangente, je trouve les deux mêmes !

y = -4x - 8

Merci beaucoup !

[gg0]

Bravo, tu as trouvé !