Suite, sommes et intégrales

[invite621f0bb4]

Bonjour à tous !
Ayant fait très peu d'exercices sur les sommes cette année (genre somme de k=0 à k=n des k au carré par exemple) j'en ai pris un dans mon livre qui lie à la fois suites et intégrales (exo type "vers le supérieur").

On a fn la fontion définie sur [0;+l'infini[ par :


et I_n(a)= l'intégrale de 0 à a de fn(x)

J'ai démontré que I_k(a)-I_k-1(a)=-(a^k/k!)e^-a

Je dois en déduire que I_n(a)=1-e^-a()

(Désolé, l'écriture n'est peut-être pas très clair ^^)
Là je coince, comme je maîtrise très mal les sommes de ce genre...
Je suis parti de l'égalité démontrée, j'ai passé le I_k-1(a) de l'autre côté, j'ai essayé d'intégrer (je me suis peut-être trompé là), en tout cas j'arrive pas à retrouver quelque chose qui ressemble à une somme ^^
Du coup si on pouvait me conseiller pour partir...

Inutile de me donner un corrigé, ça me gâcherait un peu le plaisir
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

Technique archi-classique à connaître absolument :

Tu écris :

I_n(a) - I_n-1(a) = ...
I_n-1(a) - I_n-2(a) = ...
...
I₂(a) - I₁(a) = ...
I₁(a) - I₀(a) = ...

Puis tu additionnes membre à membre.

N.B. : Le sigma dans le résultat démarre à k=0 et non pas k=1

[invite621f0bb4]

Ha oui en effet pour k=0 !

Mais en additionnant les membres de gauche je vais retrouver In ?
Ou plutôt I_n-I₀ ? Vu qu'on a calculé I₀ à la première question de l'exo ça ne serait pas un problème.

Merci bien en tout cas, j'essaye ça de ce pas.

[invite621f0bb4]

Alors je suis en effet arriver à
I_n-I₀=-(\[\sum_{k=0}^{n}\frac{{a}^{k}}{k !}\])e^-a

d'où I_n=-(\[\sum_{k=0}^{n}\frac{{a}^{k}}{k !}\])e^-a+I₀

I₀(a) je trouve 1-e^-a, donc si je remplace dans l'expression, je ne retrouve pas ce qui m'est demandé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Alors je suis en effet arriver à
I_n-I₀=-(\[\sum_{k=0}^{n}\frac{{a}^{k}}{k!}\])e^-a

Il y a une erreur ici.

[invite621f0bb4]

Ha bon ?
On a bien : I₁-I₀=-(a^o/0!)e^-a, non ?

Ha non peut-être plutôt : I₁-I₀=-(a¹/1!)e^-a

d'où k=1 et non k=0.
Et du coup on a bien l'égalité demandée, de manière évidente ou il faut justifier ?

[invite621f0bb4]

A supprilmer.

[invite621f0bb4]

ps : Heu en fait je vois pas trop comment on retrouve l'égalité demandée, même en partant de k=1...

[PlaneteF]

ps : Heu en fait je vois pas trop comment on retrouve l'égalité demandée, même en partant de k=1...

Ecris où tu en es dans ton calcul.

[invite621f0bb4]

J'ai I_n= -e^-a +1-e^-a (1)

Là je vois pas trop... si k=0, on a a^k/k! = e^-a
Ha ben du coup le -e^-a de l'égalité (1) correspond à la somme de k=0 à k=n (le signe négatif est en facteur). Il reste le +1 donc c'est bon, c'est ça ?

[PlaneteF]

J'ai I_n= -e^-a +1-e^-a (1)

Là je vois pas trop... si k=0, on a a^k/k! = e^-a
Ha ben du coup le -e^-a de l'égalité (1) correspond à la somme de k=0 à k=n (le signe négatif est en facteur). Il reste le +1 donc c'est bon, c'est ça ?

Ce n'est pas formulé de manière hyper limpide, mais oui c'est çà !

[invite621f0bb4]

Ok, merci !