Argument d'un vecteur

[inviteb7fde82a]

Bonjour à tous.

Je suis entrain de bûcher sur les nombres complexes pour un concours administratif.
J'ai rencontré quelques difficultés sur des questions portant sur l'argument d'un complexe.

Si l'on à un complexe sous sa forme algébrique Za = x + iy , on peut trouver son argument en faisant le parallèle avec sa forme trigonométrique, d'où les formules : cos-1 (x/r) = sin-1 (y/r) (r étant le module du complexe).

Mon problème est quand j'applique cette formule à un nombre complexe Z(ab) (donc la mesure de l'angle du vecteur ab) les valeurs cos-1 et sin-1 ne sont pas les mêmes. Je ne comprend pas trop. Quelqu'un pourrait-il me donner une explication ou une piste de raisonnement ?

Merci d'avance.
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[danyvio]

Peux-tu préciser ton souci par un exemple numérique clair ?

[invitea3eb043e]

Ca peut venir du fais que sin-1 te donne un angle entre -pi/2 et + pi/2 (-90° et + 90°)tandis que cos-1 te donne un angle entre 0 et pi (0 et 180°). Les valeurs ne coïncident alors que entre 0 et pi/2.
Tu fais alors un dessin et tu regardes où se situe Z (dans quel quadrant). Au besoin, tu changes le signe ou tu prends pi - a. Un dessin propre te renseignera facilement.

[gg0]

Bonjour.

la détermination d'un argument d'un complexe n'est pas aussi simple que ce que tu écris. Cela vient du fait que sin et cos sont des fonctions périodiques, donc qu'elles n'ont pas de fonction réciproque. les notations sin^-1 et cos^-1 qu'on trouve sur certaines calculettes sont d'ailleurs incohérentes, alors que la calculette utilise les fonctions Arcsin et Arccos, bien définies. mais les fabricants de calculettes ne sont pas des matheux ...
Voila ce que je proposais autrefois à mes élèves :
z)a+ib
* si a=0, le signe de b donne un argument évident (voir dessin)
* si a>0, un argument de z est arctan(b/a)
* si a<0, un argument de z est arctan(b/a)+pi

Sur une représentation graphique, et en tenant compte que arctan donne toujours un angle entre -pi/2 et pi/2, on comprend tout de suite.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]