Démonstration : base - colinéairité - déterminants.

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde! =)

Je vous avais manqué hein ? ^^

Je me permets de poster sous "Collège & Lycée", bien parce que je n'ai aucune idée du niveau de ce problème.

Je vous demande de l'aide, parce que je bloque sur devinez quoi? Une démonstration bien évidemment =D .

Il s'agit de prouver que pour deux vecteurs et de , ces vecteurs forment une base si et seulement si

Indication : Utiliser la caractérisation d'une base de comme étant formée de deux vecteurs non colinéaires.

Si je ne me trompe pas, cela revient à prouver :

tel que .

Je vous laisse me dire si ma reformulation est correcte

Il me semble comprendre intuitivement le sens de cette équivalence, cependant, je ne vois pas comment y arriver....

Cela me paraît qu'une simple question d'algèbre, mais dans le sens " ", je ne vois pas comment calculer le produit et ; dans le sens " ", je ne vois pas comment introduire l'.

Merci énormément d'avance pour vos aides !

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Pour une démonstration géométrique, tu peux montrer que le déterminant est l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs (a,b) et (c,d). Dans ce cas, il te suffira de remarquer que les vecteurs sont linéairement indépendants ssi cette aire est non nulle.

Pour une démonstration algébrique, tu peux montrer que l'application , avec et , vérifie et .

[gg0]

Bonjour.

Tu peux développer ta première idée, avec un écueil : le vecteur nul est colinéaire à tous les autres. Donc il suffira de séparer le cas "un vecteur au moins est nul" des autres cas.
Et il faudra bien rectifier ce que tu as écrit, car les vecteurs sont colinéaires quand ad-bc est nul (tu as écrit "non nul"). La démonstration directe est immédiate, il suffit de calculer ad-bc en utilisant l'hypothèse. pour la réciproque, si un des vecteurs est non nul, un au moins des 4 coefficients a, b, c ou d est non nul, et peut servir de diviseur pour écrire un rapport qui est ton .

Bons calculs.

Nb : On faisait ça autrefois en seconde en France.

[The_Anonymous]

Un grand merci pour vos réponses! =)

J'ai pu finir la première partie de mon exercice, cependant, hélas, il y en a une deuxième..

Dans le même style, il faut prouver dans que trois vecteurs ( u = (a,b,c); v = (d,e,f); w = (g,h,i) )forment une base ssi .

On nous demande d'utiliser la caractérisation d'une base comme des vecteurs non coplanaires, mais la seule chose que nous ayons vu sur les vecteurs non coplanaires, c'est qu'ils forment une base! (Dans )

Je ne vois pas quoi utiliser comme "propriété" sur les vecteurs non coplanaires, si vous pouviez m'aider, merci d'avance! =D

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Là encore,

il vaut miux caractériser les vecteurs coplanaires : Si les deux premiers ne sont pas colinéaires, le troisième est une combinaison linéaire des deux autre; s'ils sont colinéaires, les 3 sont coplanaires.

Cordialement.

Nb : ce que j'ai dit se démontre aisément en termes de bases.

[The_Anonymous]

Ok merci beaucoup! Je creuse la piste et je vous redonne des nouvelles

[The_Anonymous]

Désolé de ne pas avoir répondu avant!

J'ai pu finir encore une fois grâce à vous, merci beaucoup =D