Problème avec les études de fonctions

[inviteeffa02f4]

Bonjour. Je crée cette nouvelle discussion car j'ai un peu (beaucoup) de mal avec la base des études de fonctions, alors ma question est : Est-ce que le résultat change quand x tend vers - l'infini ou vers + l'infini ? Car admet-on que f(x) = x+3/x-2, le domaine de définition = R sauf {2}, la droite d'équation x = 2 est asymptote à la courbe, la droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe en - l'infini et en + l'infini, ce qui veut dire que le résultat est toujours le même que ce soit en - l'infini ou en + l'infini et ce pour n'importe quelle fonction de ce genre ?
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[invite2c46a2cb]

Bonjour !

Est-ce que le résultat change quand x tend vers - l'infini ou vers + l'infini ?

Généralement oui, mais ça dépend des fonctions. Je te donne l'exemple de la fonction identité , qui tend vers lorsque tend vers et vers lorsque tend vers .

Le résultat est toujours le même que ce soit en - l'infini ou en + l'infini et ce pour n'importe quelle fonction de ce genre ?

Par contre, pour "n'importe quelle fonction de ce genre", oui, le résultat est bien le même.
On appelle les fonctions de la forme des fonctions homographiques (avec et non nuls). Et la limite en et en d'une fonction homographique est la même, car toujours égale à . (Je te laisse mettre en facteur au numérateur/dénominateur, et le faire tendre vers l'infini)

En espérant t'avoir éclairci.

[inviteeffa02f4]

Merci pour ces explications et une autre question, comment faire pour tendre x vers + ou - l'infini ? On le fait dans notre tête en l'imaginant ou il y a des calculs à faire ?

[invite2c46a2cb]

Comment faire pour tendre x vers + ou - l'infini ? On le fait dans notre tête en l'imaginant ou il y a des calculs à faire ?

Oui, il y a des calculs, des méthodes, des limites de référence démontrées.. Même si souvent, le fait de le visualiser instinctivement permet de t'aider à conjecturer telle ou telle limite..
Mais je pensais que tu étais en terminale, car c'est en général l'année où on aborde les limites.
Je te donne un exemple avec ta fonction:


car et (c'est assez instinctif pour le coup)
Et on obtiendrait la même chose ave
Mais tu verras tout ça en terminale de toute manière !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c46a2cb]

Euh, c'est plutôt:

(Dommage qu'on ne puisse pas éditer..)

[inviteeffa02f4]

Non, non, je ne suis qu'en 1ère S, mais on a déjà commencé à étudier les études de fonctions (les asymptotes verticales, horizontales, obliques, les limites et les tableaux de variations) depuis environ deux semaines et je suis complétement largué.

Donc si j'ai bien compris, le plus souvent, le résultat change lorsque c'est en - l'infini et en + l'infini, c'est ça ? Car le prof nous à dit : "quand la fonction se présente sous la forme d'une fraction de polynôme. On regarde le rapport des termes de plus haut degré quand x tend vers + ou - l'infini".

Exemple : x+2/x²-1 -> la droite y = 0 est asymptote horizontale car x/x² = 0.

Exemple : x²+2/x²-1 -> la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale car x²/x² = 1.

Donc c'est pour cela que dans l'exemple de mon premier post, y = 1 que ce soit en - ou + l'infini ?

[invite2c46a2cb]

Donc si j'ai bien compris, le plus souvent, le résultat change lorsque c'est en - l'infini et en + l'infini, c'est ça ? Car le prof nous à dit : "quand la fonction se présente sous la forme d'une fraction de polynôme. On regarde le rapport des termes de plus haut degré quand x tend vers + ou - l'infini".

Exemple : x+2/x²-1 -> la droite y = 0 est asymptote horizontale car x/x² = 0.

Exemple : x²+2/x²-1 -> la droite d'équation y = 1 est asymptote horizontale car x²/x² = 1.

Oula.
Là, on utilise pas le signe égal, pour la simple est bonne raison qu'une fraction est nulle si et seulement si le numérateur est nul et le numérateur non nul. Ici c'est impossible d'avoir les deux conditions à la fois.
C'est pour ça qu'on utilise le mot "tend", genre ici, ce serait plutôt: "Car x/x² tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini"
Hormis ceci, je trouve ça un peu rapide pour justifier une limite..

Donc c'est pour cela que dans l'exemple de mon premier post, y = 1 que ce soit en - ou + l'infini ?

Si tu veux dire que si la fonction se présente sous la forme d'une fraction de polynômes de même degré, alors la limite en et en est identique, alors oui, c'est vrai.

[inviteeffa02f4]

Désolé pour le retard et merci pour toutes ces réponses. Par contre, j'ai encore une autre question, dans quel cas x doit tendre vers + ou - l'infini et dans quel cas x doit tendre vers le domaine (ou ensemble) de définition ?

Ex:

f(x) = 2x²+3x/2x-1

Le domaine de définition est x=1/2 car on doit calculer le dénominateur pour trouver x

lim x->1/2 et x>1/2 f(x) = + l'infini (je précise que x->1/2 est situé en-dessous de lim f(x) et que x>1/2 est situé en-dessous de x->1/2)

lim x->1/2 et x<1/2 f(x) = - l'infini (je précise que x->1/2 est situé en-dessous de lim f(x) et que x<1/2 est situé en-dessous de x->1/2)

Donc la droite d'équation x=1/2 est asymptote à la courbe en + et - l'infini


lim x->+ l'infini f(x) = lim x->+ l'infini de 2x²/2x = lim x->+ l'infini de x = + l'infini (je précise que les x->+ l'infini sont en-dessous des lim f(x))

Et après on doit faire la divison


Mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi par moment x tend vers + l'infini et par moment x tend vers un nombre (le domaine de définition).

[gg0]

Bonjour.

Tu devrais revoir ce qu'est le domaine de définition (cours de seconde) : "Le domaine de définition est x=1/2" !!! x=1/2 n'est pas un domaine, seulement une égalité, ou une valeur de x.

Pour ta fonction, si c'est bien :

son domaine de définition est [TEX]]-\infty;\frac 1 2[\cup]\frac 1 2;+\infty/TEX].

On étudie les limites là où il peut y avoir problème. Pour les fonctions simples que tu étudies, dans le domaine de définition, la limite c'est la valeur (si x tend vers a; f(x) tend vers f(a)). On dit que ces fonctions sont continues.
Donc pour ton exemple, on étudiera ce qui se passe quand x diminue au delà de tout nombre (limite en ), quand x augmente au delà de tout nombre (limite en ) et quand x se rapproche de 1/2.

Cordialement.

[gg0]

"Mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi par moment x tend vers + l'infini et par moment x tend vers un nombre "

Tout simplement parce qu'on fait des choses différentes. Demanderais-tu à l'auto-école "Mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi par moment on tourne à droite et par moment on va tout droit" ?

Autre chose :
"f(x) = 2x²+3x/2x-1" se calcule bien pour x=1/2 : f(1/2)=2(1/2)²+3(1/2)+3(1/2)/2(1/2)-1=1/2+3/2+3/8-1=5/8.

Il serait temps d'apprendre à mettre des parenthèses pour multiplier ou diviser une somme ou multiplier ou diviser par une somme (cours de 6e/5e).

Cordialement.

[inviteeffa02f4]

Merci pour ces précisions et toute critique est bonne à prendre car c'est ce qui permet de corriger les erreurs et/ou les lacunes. Donc si j'ai bien compris, lors d'un DS, on aura les points que l'on fasse avec + ou - l'infini ou avec un nombre ?

[gg0]

Lors d'un DS, tu auras les points si tu fais le travail qu'on t'a demandé. Si on ne te demande pas de limites, et que tu en calcules, ça ne te donnera pas de points.

On recherche les limites pour savoir ce qui se passe là où ce n'est pas évident. Si c'est évident partout, on ne calculera pas de limite.

A une ancienne époque, on demandait simplement aux élèves "étudier la fonction ...", et c'était à eux de décider ce qu'ils devaient faire. S'il en oubliaient, c'était des points en moins. Aujourd'hui, les énoncés disent généralement tout ce qu'il faut faire, "y'a qu'à suivre !".

Cordialement.