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Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers



  1. #1
    ESOTSM

    Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Bonjour
    Mon prof de spé maths nous a donné un problème ouvert à résoudre, et c'est vrai que je reste un peu perplexe à la lecture de l'énoncé, étant donné qu'il est assez succinct.

    "Trouver tous les nombres premiers p tels que le nombre (2^n)+p² soit lui-même un nombre premier."

    N'ayant aucun élément de recherche, J'ai fais une simulation pour les premiers nombres premiers.

    2²+2²=8 (divisible par 2)
    2^3+3²=17
    2^5+5²=57 (divisible par 3)
    2^7+7²=177 (divisible par 3)
    2^11+11²=2169 (divisible par 3)
    2^13+13²=8361 (divisible par 3)
    2^17+17²=131 361 (divisible par 3)
    2^19+19²=524 649 (divisible par 3)
    2^23+23²=8 389 137 (divisible par 3)

    Seulement p=3 fonctionne dans ma liste. On doit ensuite établir un conjecture, mais je ne sais pas de quoi partir... Il me semble qu'il pourrait y avoir un rapport avec une divisibilité ou une congruence modulo 3, puisque presque tous les nombres (à part 8) sont divisible par 3.

    Ou alors, p=3 étant le seul fonctionnant dans ma liste, je me demandais si ça n'aurait pas un rapport avec le fait que 2 et 3 se suivent... Mais ça réduirait l'ensemble à une seule possibilité, ce qui me parait un peu improbable...
    Je pense qu'il doit y avoir un rapport à trouver entre 2 et p, mais je ne vois vraiment pas à quel niveau...

    Une petite piste de recherche ou l'invalidation de l'une de mes théories serait la bienvenue !

    Merci d'avance

    -----


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  3. #2
    The_Anonymous

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Salut à toi

    Citation Envoyé par ESOTSM Voir le message
    (2^n)+p²

    Tu veux dire plutôt ? Ou bien est-ce alors et le n est fixé ? Ou est-ce un paramètre?

    Cordialement

  4. #3
    ESOTSM

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Oh oui désolée, je me suis trompée en recopiant... C'est bien (2^p)+p²

    Je peut être trouvé une manière de démontrer...

    On sait que 2≡-1[3]
    Donc :
    (2^p)≡(-1)^p[3]
    (2^p)≡-1[3] (puisque p est premier, donc impair.)

    On pose n un entier naturel tel que 0<n<3
    p≡n[3] n={0;1;2}
    p²≡n²[3] n²={0;1;4}

    Donc (2^p)+p²≡-1+n²[3]
    Il y a 3 possibilités :

    n=0
    (2^p)+p²≡-1+0≡-1[3]

    n=1
    (2^p)+p²≡-1+1≡0[3]

    n=2
    (2^p)+p²≡-1+4≡3≡0[3]

    Si l'on veut que n ne soit pas divisible par 3, il ne nous reste qu'une solution : tous les nombres tels que n=0, de la forme p=3k+n=3k, k un réel entier.

    Cela vous parait-il correct ?...

  5. #4
    Seirios

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Bonjour,

    Pour simplifier ton raisonnement (que je n'ai pas vérifié), pense au petit théorème de Fermat.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    ESOTSM

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Bonjour

    Je n'ai jamais entendu parler de ce théorème... J'ai trouvé deux versions sur internet :
    Soit a un entier non divisible par p, p premier.

    1) (a^p)-a divisible par p

    2) (a^p-1)-1≡0[p]

    Je ne comprend pas comment ce théorème peut coller au problème, sachant que j'ai un carré dans mon expression...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Seirios

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Tu peux t'en servir pour dire que . Sinon, tu dois pouvoir le montrer directement.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  10. #7
    Seirios

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Citation Envoyé par ESOTSM Voir le message
    On pose n un entier naturel tel que 0<n<3
    p≡n[3] n={0;1;2}
    p²≡n²[3] n²={0;1;4}

    Donc (2^p)+p²≡-1+n²[3]
    Il y a 3 possibilités :
    Si p est un nombre premier >3, alors n ne peut valoir que 1 ou 2. Tu trouves alors que p² est toujours congru à 1 modulo 3.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #8
    ESOTSM

    Re : Problème ouvert TS spé maths - nombre premiers

    Merci beaucoup, grâce à ca je crois que j'ai résolu le problème !

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