Nombre de Fermat : problème Term Spé Maths

[Fabien-la-chauve]

Bonsoir,
Alors voila j'ai gouté aux joies de la spé math cette année et je bloque un peu sur une question d'un DM donné par notre prof :

On a F_n=2²ⁿ+1
et aussi (mais je sais pas si ça sert pour la question) : F_n+1=(F_n-1)²+1 (R)

Les questions : a) Montrer que F₂=17[100] et F₃=57[100] (congruences)

b)En déduire, à l'aide de la relation (R), que F₄=37[100], F₅=97[100] puis que F₆=17[100]

c) En déduire qu'à partir de l'entier n=2, la suite des restes dans la division euclidienne de F_n par 100 est périodique de période 4.


J'ai réussi les questions a) et b) mais je bloque pour la c). Voila je vous demande pas de faire mon travail à ma place mais juste de m'indiquer des pistes sur la méthode à utiliser parce que là je vois pas du tout (est ce qu'il faut faire avec la récurrence ou autre chose.... ?)

Merci!
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[invite058b6c66]

Bien vu, il y a une récurrence. Mais avant tout il faut bien poser le problème. On demande d'établir une propriété sur des restes, pas sur F_n lui même. Pour t'aider:

1) Pose une suite r_n valable pour n entier et représentant les restes étudiés.
(Il n'y a rien à calculer, juste énoncer ce qu'elle est, et pour se donner une idée, écrire ses premiers termes déjà calculés aux a) et b) )

2) Ecrit à l'aide d'une équation, la propriété qu'on te demande d'établir sur la suite r.
(Il faut traduire l'énoncé de la c) en équation)

3) Résout la par récurrence.
(Résoudre avec la relation R)

[Fabien-la-chauve]

Alors R₀=17
R₁=37
Etc....
Avec R₄=17
R₅=37
Etc...

Je pense faire R_n=R_n+4 mais je n'ai jamais rencontré de suites comme ça

J'avais aussi pensé à : F_n+4-F_n=0[100] ??

[invite058b6c66]

En effet, F_n+4-F_n = 0 [100] est l'écriture même de la propriété demandée. En proposant la suite (r_n) je ne simplifie pas vraiment le problème.

Bien que oui la formule à montrer est bien r_n+4=r_n et il n'y a rien de fabuleux. A mon avis, tu as déjà vu la suite u_n=(-1)ⁿ qui vérifie:
u_n+2=u_n. C'est une suite de période 2.

Pour ton problème, donc tu as pu constater qu'il s'agit de montrer la relation:

F_n+4-F_n = 0 [100] pour n>1.

Par récurrence ça fonctionne. Pour t'aider: On pose P(n) la propriété ci-dessus.

1) Initialisation: n=2, on a F₆ - F₂ [100] = 0 [100]. => P(0)

2) Hérédité. On suppose pour un entier fixé n que P(n) est vraie.

Astuce: Que signifie P(n+1)? Montre avec la relation (R) que

F_n+5-F_n+1 = 2 F_n ( F_n+4 - F_n )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fabien-la-chauve]

Je commence à comprendre
Donc je developpe F_n+5-F_n+1 avec la relation (R) mais là je trouve (F_n+4+F_n-2)*(F_n+4-F_n) à la fin. Mais ça marche aussi donc je crois que c'est bon!

[Fabien-la-chauve]

Oui ça marche! Merci beaucoup!

[invite058b6c66]

De rien, n'hésite pas à lire la page wikipédia dédiée à ces nombres, pour comprendre pourquoi Fermat les étudia. Il y a des nombres dans le même genre, ceux de Mersenne.