Dérivation et variation de fonctions

[invite0e0ccb4e]

Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire pour lundi et j'ai réussi à faire le travail préparatoire sans pour autant réussir à répondre à la consigne et j'aimerais votre aide s'il vous plait.

L'énoncé de l’exercice est le suivant : Montrer que les fonctions dérivées des fonctions f(x) = 2/x^3-1 et g(x) = x-1/(x-2)² s'annulent simultanément sur ]-infini;0[. Obtient-on un extremum dans chacun des deux cas ?

J'ai réussi à trouver les fonctions dérivées et à dresser les tableaux de signe et de variations. J'aurais besoin d'une validation et de la méthode pour terminer l'exercice.

f(x) = 2/x^3-1
f'(x) = (u/v)' = u'v-uv'/v² = 0*(x^3-1)-2*3x² / (x^3-1)² = 0-6x²/(x^3-1)² = -6x²/(x^3-1)²
avec u= 2 u'=0 v=x^3-1 v'=3x²

f' est du signe de -6x² car (x^3-1)² > 0.

Donc je dresse le tableau suivant :

téléchargement.jpg

Puis finalement celui-ci :

forum_217132_1.jpg


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g(x) = x-1/(x-2)²
g'(x) = (u/v)' = u'v-uv'/v² = 1*(x²-4x+4)-(x-1)*(2x-4) = x²-4x+4-2x²+4x+2x-4 = -x²+2x
avec u=x-1 u'= 1 v= (x-2)² = x²-2*x*2+2² = x²-4x+4 v'= 2x-4

g du signe de x-1 car (x-2)²>0

delta = b²-4ac = 2²-4*(-1)*0 = 4-0 = 4 > 0 donc 2 solutions
x1 = (-b-racinededelta)/2a = -2-racinede4/2*(-1) = -2-2/-2 = -4/-2 = 2
x2 = (-b+racinededelta)/2a = -2+racinede4/2*(-1) = -2+2/-2 = 0/-2 = 0

Donc je dresse le tableau suivant :

téléchargement.jpg

Puis finalement celui-ci :

forum_217132_1.jpg

Voilà ou j'en suis mais je n'ai pas répondu à la consigne et je ne sais pas comment faire ... Et pour l'instant est-ce que ce que j'ai fait est juste ? Merci d’avance pour vos réponses.
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[gg0]

Bonjour.

D'accord avec ta dérivée de f, si c'est bien f(x)=2/(x³-1). Car toi, tu as écrit .

je ne comprends pas "les fonctions dérivées des fonctions .... s'annulent simultanément sur ]-infini;0[", puisque la dérivée de f ne s'y annule pas. Je comprendrai peut-être quand tes pièces jointes seront validée (pour moi elle sont en attente de validation par un modérateur).

Pour g, je n'ai pas vu de dérivée écrite. "u'v-uv'/v² = 1*(x²-4x+4)-(x-1)*(2x-4)" est faux. Je n'ai pas d'ailleurs compris pourquoi tu parles du signe de g. Enfin dériver (x-2)² en le développant est une mauvaise idée, tu rates une factorisation, donc une simplification de g'.

Voilà ou j'en suis mais je n'ai pas répondu à la consigne

Donc tu as perdu ton temps !
Pourquoi n'as-tu pas répondu à la consigne ? Pourquoi faire des tableaux de variation non demandés ? parce que tu savais faire ? Tu fais penser à celui qui_ a perdu sa clef dans le noir mais qui la cherche sous un réverbère car "là au moins on y voit" !

Je soupçonne qu'il y a une erreur quelque part, car l'énoncé de l'exercice suppose qu'il y a annulation des dérivées quelque part sur ]-infini;0[.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Quelques petites remarques avant que les pièces jointes soient validées :

f(x) = 2/x^3-1
f'(x) = (u/v)' = u'v-uv'/v² = 0*(x^3-1)-2*3x² / (x^3-1)² = 0-6x²/(x^3-1)² = -6x²/(x^3-1)²
avec u= 2 u'=0 v=x^3-1 v'=3x²

Ici la fonction est de la forme à une constante multiplicative près, et la dérivée est donc

g(x) = x-1/(x-2)²
g'(x) = (u/v)' = u'v-uv'/v² = 1*(x²-4x+4)-(x-1)*(2x-4) = x²-4x+4-2x²+4x+2x-4 = -x²+2x
avec u=x-1 u'= 1 v= (x-2)² = x²-2*x*2+2² = x²-4x+4 v'= 2x-4

g du signe de x-1 car (x-2)²>0

delta = b²-4ac = 2²-4*(-1)*0 = 4-0 = 4 > 0 donc 2 solutions
x1 = (-b-racinededelta)/2a = -2-racinede4/2*(-1) = -2-2/-2 = -4/-2 = 2
x2 = (-b+racinededelta)/2a = -2+racinede4/2*(-1) = -2+2/-2 = 0/-2 = 0

Tu as perdu le dénominateur en cours de route !

Sinon, toujours et toujours ce satané réflexe de développer, alors qu'il est tellement plus simple de laisser sous une forme factorisée :

Numérateur de = , puis factorisation avec qui se simplifie en partie avec le dénominateur !

Sinon on ne calcule pas un "delta" pour , ... là encore FACTORISATION immédiate


EDIT : Croisement avec gg0 !

[invite0e0ccb4e]

Tout d'abord merci de vos réponses,

Alors j'ai toujours un problème je ne voit pas comment factoriser g'(x) donc je bloque
Je vais réessayer mais dites moi si je me trompe :
g'(x) = (u/v)'
= u'v-uv'/v²
= (x-2)²-(x-1)*(2x-4) / (x-2)^4
= (x-2)²-(x-1)*(x-2)*2 / (x-2)^4
= (x-2)^4-(x-1) / (x-2)^4 Le numérateur et le dénominateur s'annulent donc
= -(x-1) = -x+1

avec u=x-1 u'= 1 v= (x-2)² = x²-2*x*2+2² = x²-4x+4 v'= 2x-4

Donc en attendant la validation des pièces jointes vous ne pourrez pas m'aider beaucoup plus mais pourriez vous déjà valider cette dérivée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d4af10e]

Tout d'abord merci de vos réponses,

Alors j'ai toujours un problème je ne voit pas comment factoriser g'(x) donc je bloque
Je vais réessayer mais dites moi si je me trompe :
g'(x) = (u/v)'
= u'v-uv'/v²
= (x-2)²-(x-1)*(2x-4) / (x-2)^4
= (x-2)²-(x-1)*(x-2)*2 / (x-2)^4

Bonjour
(x-2)²-(x-1)*(x-2)*2 / (x-2)^4 = (x-2)((x-2)-2(x-1))/(x-2)^4=-(1+x)/(x-2)^3 et effectivement g'(x) s'annule sur l'intervalle cité.

[invite0e0ccb4e]

Merci et pour le prouver je fait le tableau de signe de la dérivée de g ? Qu'en est-il pour f ?

Si je reprend tout mon exercice, je dois étudier le signe de la dérivée de f et de g (comme je l'ai fait) puis en déduire les variations de f et g (comme je l'ai fait également) afin de prouver que ces deux fonctions s'annulent sur ]-infini;0]. Je ne comprend pas le "simultanément" dans la consigne ... Et pour les extremums, il n'y en a pas pour f(x) car la fonction est strictement décroissante en revanche il y a un minimum local pour g qui est :

g(0) = Minimum local = 0-1/(0-2)² = -1/0²-2*0*2+2² = -1/0-0+4 = -1/4
g(2) = Maximum local = 2-1/(2-2)² = 1/2²-2*2*2+2² = 1/4-8+4 = 1/0 = Inexistant

Est-ce que ce que j'ai fait est juste ?

[gg0]

Je ne comprends toujours pas ce que tu fais !

l'énoncé est-il celui du premier message (énoncé faux) ou un autre dont tu ne nous as pas parlé ?

Et tu devrais utiliser ton intelligence de temps en temps en évitant de parler de maximum pour une valeur qui n'est pas dans le domaine de définition de g. D'ailleurs la dérivée de g ne s'annule pas pour 2, elle n'y est pas définie !

Donc si tu es sérieux, tu expliques quel est l'énoncé.

Autre chose : Jamo s'est trompé, la dérivée de g est g'(x)=x/(x-2)^3 qui ne s'annule pas sur ]-oo,0[.

Cordialement.

[invite0e0ccb4e]

L'énoncé est celui donné dans le premier message ...
Je le réécris :

Montrer que les fonctions dérivées des fonctions f(x) = 2/x^3-1 et g(x) = x-1/(x-2)² s’annulent simultanément sur ]-infini;0[. Obtient-on un extremum dans chacun des deux cas ?

[gg0]

Comme les deux fonctions n'ont pas d'annulation de leur dérivée sur l'intervalle proposé, l'énoncé est faux. le mieux que tu puisses faire est de dériver correctement tes deux fonctions et de montrer que ces dérivées ne s'annulent qu'en dehors de l'intervalle.
mais tous les calculs parasites que tu as faits en plus ne servent à rien, ils ne se rapportent pas à la question posée.

Autre possibilité : Considérer que c'est l'intervalle ]-oo, 0] ou même ]-oo,+oo[; à ce moment-là, les deux dérivées s'annulent simultanément en 0 et la suite de l'énoncé a du sens. Mais on change d'énoncé.

En tout cas, face à un énoncé faux, on ne fait pas des calculs, des calculs et des calculs ... c'est une conduite inintelligente. On s'arrête !
Rappel : les maths sont une activité intelligente, pas une agitation sans but. Certaines questions se résolvent en 3 mots. Quand on n'a pas d'autre possibilité, on fait de longs calculs, mais simplement parce qu'on ne sait pas faire autrement. Une page de calculs n'est pas à priori une réponse !!!

Cordialement.

[invite0e0ccb4e]

Donc je ferrais ce que j'ai fait pour montrer au professeur que j'ai quand même chercher à comprendre l'exercice mais que je ne peux pas aller plus loin étant donné que je n'ai pas le bon intervalle dans l'énoncé...

Cordialement.