Nombres complexes

[invite621f0bb4]

Bonjour à tous, j'ai un DM sur les nombres complexes.
J'ai fait les trois premières parties que je pensais avoir réussies mais la quatrième je bloque, je trouve une réponse non cohérente avec un schéma.
Voilà le sujet :
Soit f l'application de C dans C définiée par f(z)=(1/2)*(1+i)z.
On définit la suite par réccurence a_n comme tel :
a_n=f(a_n-1)
A_n est le point d'affixe a_n

Déjà j'ai dit qu'elle était géométrique de raison (1/2)*(1+i).

Je vous passe les trois premières parties (qui sont indépendantes de la dernière).

->On se place dans le repère othonormé (O,u,v) et on note θ_n une mesure en radians de l'angle (u,A_n)
Montrer que la suite de terme général θ_n est arithmétique.
->Arithmétique de raison (pi/4) et de premier terme pi/4
En déduire θ_n en fonction de n
->θ_n=(pi/4)+n*(pi/4) soit : θ_n=((n+1)pi/4)
Pour quelel valeur de n a-t-on A_n sur la demi droite passant par l'origine O et par A₀ ?

Là le problème se pose.
Je suis parti du principe que ça équivaut à (u,A_n)=pi/4
Soit θ_n=(pi/4)
ou encore :
((n+1)pi/4)=pi/4
(n+1)pi=pi
n=0
Ce qui me parait pas cohérent du tout.
Après je me suis dit que peut-être n=0+2kpi mais ça me parait un peu farfelu ^^
Et si c'est ça, c'est plus par hasard que par réelle compréhension que je réponds ça.

Donc voilà, merci de vos lumières !
-----

[gg0]

Bonsoir.

θ_n ne serait-il pas l'argument d'un nombre complexe quelconque ?

"Je suis parti du principe que ça équivaut à (u,A_n)=pi/4" ?? il n'y a aucune raison. Et on ne part pas d'un principe, pour démontre, on part des hypothèses (en s'aidant de la conclusion pour savoir où aller).
"Soit θ_n=(pi/4)" Là, tu as complétement oublié ton énoncé !!!

Bon, reprends sérieusement la question ...

Cordialement.

[invite621f0bb4]

θ_n est une mesure de l'angle (u,A_n), il n'est donc pas l'argument d'un nombre complexe quelconque, mais l'argument du nombre complexe a_n, non ?

"Soit θ_n=(pi/4)" Là, tu as complétement oublié ton énoncé !!!

Je ne vois pas en quoi, si A_n appartient à la demi droite [OA₀), l'argument de a_n est égal à l'argument de a₀, donc θ_n, argument de a_n, est égal à (pi/4) (l'argument de a₀).
En tout cas c'est comme ça que je vois les choses, je me trompe peut-être mais dans ce cas je ne vois pas comment je peux "reprendre sérieusement la question".

Sinon le reste est-il juste ? (les deux premières questions)

[gg0]

Effectivement,

j'ai lu trop vite (et c'est difficile de distinguer dans ce que tu écris l'énoncé de tes réponses.

Ton erreur est là :
(u,A_n)=pi/4
Soit θ_n=(pi/4)
Tu as oublié qu'un angle a une infinité de mesures, qu'un argument n'est pas unique.
En étant plus strict, tu trouveras des résultats moins incohérents. Et une simple figure t'aurait permis de voir ce qui se passe ..

Cordialement.

NB : Pour une correction, vois ton prof, c'est son travail.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621f0bb4]

J'ai fait la figure, c'est pour ça que j'ai trouvé les résultats incohérents
Merci en tout cas, j'avais en effet complètement oublié l'infinité de mesures possibles !