Produit matricielle

[The_Anonymous]

Bonsoir tout le monde!

Je vous le promets, j'ai bientôt fini de vous embêter avec ma géométrie !

Mon interrogation porte sur la commutativité des produits matricielles : je suppose que deux matrices sont commutatives ssi les transformations qu'elles représentent peuvent être composées des deux manières possibles pour donner le même résultat.

Mais cependant, je vois bien dans un exercice que géométriquement, les transformations ne sont pas commutatives, mais en calculant les produits matricielles des deux manières j'arrive au même résultat! (J'ai donc comparé : une matrice correspond bien à un des deux arrangements, l'autre non!).

Concrètement, voici l'exercice où je rencontre ce problème :

On a la translation de vecteur et l'homothétie de centre O de rapport .

Il faut calculer les matrices des deux compositions possibles de ces transformations du plan.

Pour la matrice de , j'ai et pour , j'ai .

J'ai donc le produit matricielle , ce qui correspond bien à . C'est donc sûrement celle-ci qui doit être fausse, puisque correspond à et à . La composition devrait donc être ...

En tous cas, pour , j'obtiens également , donc là j'ai bien la bonne composition .

Serait-ce donc dans le calcul de que je me serais trompé?

Merci d'avance pour toutes vos réponses =)

Cordialement

P.S. : Géométriquement, j'ai trouvé pour la matrice ... Mais comment y arriver?
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[Seirios]

Bonsoir,

Attention : une translation n'est pas une application linéaire, donc parler de matrice dans ce cadre n'a pas vraiment de sens...

[The_Anonymous]

Ah! Voilà l'os qui coinçait toute ma démarche! Merci de l'avoir relevé!

Mais est-il quand même correct (même si cela ne donne du coup plus beaucoup de sens...) de notifier la matrice calculée géométriquement?

Cordialement

[Seirios]

Les matrices encodent des applications linéaires ; de manière générale, les images des éléments d'une base ne suffisent pas à déterminer la transformation de manière unique. Ici, même géométriquement, la composition des deux transformations n'est pas linéaire (notamment parce que l'origine n'est pas fixe). Un cadre plus naturelle pour ton problème serait de considérer les transformations affines.

[A voir en vidéo sur Futura]