Application linéaire - Point fixe - Isométrie

[invitebbd6c0f9]

Bonjou tout le monde

J'ai 3 affirmations de VRAI/FAUX qui me posent problèment...

Je vous les donne sans plus tarder :

(a) Une application linéaire a toujours un point fixe.

(b) Une application qui a un point fixe est toujours linéaire.

(c) Une isométrie est toujours linéaire.

Pour ce qui est de la (a), j'ai beaucoup cherché et je n'ai trouvé aucune application linéaire n'ayant pas de point fixe. J'ai également regardé dans mon cours, mais de toutes les applications linéaires qu'on a vues, aucune n'a pas de point fixe (on a vu les translations de vecteur nul, les homothéties de centre O, les rotations de centre O et les symétries axiales dont l'axe passe par O). Ceci me laisse donc tendre à penser que les applications linéaires ont toujours un point fixe. Mais alors comment le démontrer? En utilisant simplement les axiomes, je ne vois pas trop comment... Nous avons défini les applications linéaires, pour l'application linéaire, , comme respectant

(i) et
(ii) .

Pour la (b), je suis presque sûr que cette affirmation est fausse, j'ai vu dans les exercices une composée d'homothétie dont une pas de centre O qui fixait un point, j'aurais donc un contre-exemple (je pense que c'est juste, je vous laisse me confirmer ).

Pour la (c), je pense que l'affirmation est vraie et qu'il s'agit de démontrer les axiomes.

J'ai pensé à une démonstration du genre (en gardant les mêmes conditions) :

(i) , donc et
(ii) , donc .

Je ne suis pas sûr que cela suffise.

Merci de toutes vos réponses!

Cordialement
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[PlaneteF]

Bonjour,

Ceci me laisse donc tendre à penser que les applications linéaires ont toujours un point fixe. Mais alors comment le démontrer? En utilisant simplement les axiomes, je ne vois pas trop comment... Nous avons défini les applications linéaires, pour l'application linéaire, , comme respectant

(i) et
(ii) .

Que penses-tu de ?

[invitebbd6c0f9]

Je pense, comme nous avons vu que , que

.

Mais alors ceci démontrerait que toute application linéaire possède un point fixe ?

[Seirios]

Je pense, comme nous avons vu que , que

.

Mais alors ceci démontrerait que toute application linéaire possède un point fixe ?

Tout à fait.

Pour la (b), je suis presque sûr que cette affirmation est fausse, j'ai vu dans les exercices une composée d'homothétie dont une pas de centre O qui fixait un point, j'aurais donc un contre-exemple (je pense que c'est juste, je vous laisse me confirmer ).

Si O n'est pas l'origine, alors l'application n'est effectivement pas linéaire et a un pont fixe. De manière moins géométrique, les fonctions ont toutes un point fixe () mais ne sont linéaires que pour .

Pour la (c), je pense que l'affirmation est vraie et qu'il s'agit de démontrer les axiomes.

J'ai pensé à une démonstration du genre (en gardant les mêmes conditions) :

(i) , donc et
(ii) , donc .

Je ne suis pas sûr que cela suffise.

Ce que tu as écrit n'a pas vraiment de sens... A priori, est définie sur , donc considérer l'image d'un nombre réel par ...

Sinon, que penses-tu des translations ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebbd6c0f9]

-> (a) : Merci pour la confirmation

-> (b) : Merci pour votre autre exemple tout aussi intéressant!

-> (c) : C'est vrai que par rapport aux translations qui sont des isométries, les translations non triviales ne sont pas linéaires.

Sauf erreur, le cas d'une translation de vecteur directeur non nul est donc une isométrie, mais pas une application linéaire!

Merci beaucoup !

[PlaneteF]

Je pense, comme nous avons vu que , que

.

Mais alors ceci démontrerait que toute application linéaire possède un point fixe ?

Non, ce n'est pas bon, tu ne démontres rien en écrivant cela :

Tu démarres en disant "comme nous avons vu que ", ben non on l'a vu nul part, et c'est même justement cela qu'il faut démontrer (ce n'est pas une hypothèse) !

Pour ce faire, tu pars de : , puis tu "appliques" à cette égalité, puis tu utilises la linéarité de dans le second membre de l'égalité, et tu conclus.

[invitebbd6c0f9]

Ah désolé, je n'ai pas été explicite ^^' En fait, quand j'ai dit "comme nous avons vu", c'est qu'on a démontré que .

Je pense donc que je peux faire le lien direct, alors

Codialement