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Géométrie analytique



  1. #1
    Jon83

    Géométrie analytique

    Bonjour!

    Connaissant le point A(1,-1,2) et la droite d {x=k+1, y=k+3, z=-k+4} est-il possible de trouver l'équation du plan contenant d et passant par A ?
    J'ai essayé, en écrivant l'équation du plan sous la forme ax+by+cz+d=0, mais je n'arrive pas à définir les constantes a, b, c et d.
    A appartient à P ==> a-b+2c+d=0
    d appartient à P ==> a(k+1)+b(k+3)+c(-k+4)+d=0

    A priori il me manque deux équations ???
    Merci d'avance pour votre aide!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    The_Anonymous

    Smile Re : Géométrie analytique

    Ce n'est pas la méthode que je recommanderais.

    J'effectuerais plutôt :

    Tu sais que appartient au plan, tout comme la droite d'équation paramétrique

    .

    Pour calculer l'équation du plan, tu calcules, pour et par exemple des points de ta droite qui appartient aussi au plan, .

    Cordialement
    Dernière modification par The_Anonymous ; 01/06/2013 à 09h58.

  4. #3
    Jon83

    Re : Géométrie analytique

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Pour calculer l'équation du plan, tu calcules, pour et par exemple des points de ta droite qui appartient aussi au plan, .

    Cordialement
    Merci pour ta réponse, mais je ne comprends pas bien: le produit vectoriel n'est pas au programme de TS ....

  5. #4
    The_Anonymous

    Re : Géométrie analytique

    Et bien alors dans ce cas, tu peux plus simplement prendre minimum deux (voire trois) points de la droite en prenant par souci de simplicité k=0, k=1 et k=2. Avec ces points tu obtiendras minimum trois équations (tu peux y arriver à trois équations en fixant par exemple d=1, mais tu peux très bien résoudre avec 4 équations). Tu arriver alors à des solutions du genre :

    a= r*n, b=s*n, c=t*n, d=u*n.

    Tu auras alors l'équation du plan recherché rx+sy+tz+u=0.

    Cordialement

  6. #5
    Jon83

    Re : Géométrie analytique

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Et bien alors dans ce cas, tu peux plus simplement prendre minimum deux (voire trois) points de la droite en prenant par souci de simplicité k=0, k=1 et k=2. Avec ces points tu obtiendras minimum trois équations (tu peux y arriver à trois équations en fixant par exemple d=1, mais tu peux très bien résoudre avec 4 équations). Tu arriver alors à des solutions du genre :

    a= r*n, b=s*n, c=t*n, d=u*n.

    Tu auras alors l'équation du plan recherché rx+sy+tz+u=0.

    Cordialement
    Merci pour ta réponse!
    En prenant d=1 je trouve a=-3/8, b=1/8 et c=-1/4
    Puis-je donc dire que l'équation de mon plan est -3x+y-2z+1=0?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Géométrie analytique

    Bonjour Jon83.

    Ne saisissant pas bien la dernière réponse d'Anonymous, je te propose ceci ;
    * Tout d'abord, A n'est pas sur la droite.
    * On peut déterminer 2 points distincts B et C sur la droite.
    * A, B et C ne sont pas colinéaires, donc est un repère du plan cherché, donc tout point M de ce plan est tel qu'il existe 2 réels a et b tels que . Et réciproquement si , M est dans le plan.
    * En traduisant en coordonnées (inconnues pour M, donc M(x,y)) on trouve un système d'équations paramétriques du plan. Les paramètres sont a et b.
    * Libre à toi de passer à une équation cartésienne.

    Une autre méthode :

    Tu écris l'équation sous la forme ax+by+cz+d=0, puis tu traduis que le plan passe par A, B et C. Tu obtiens un système de trois équations à 4 inconnues (a, b, c et d), qui a une infinité de solutions proportionnelles entre elles (2ax+2by+2cz+2d=0 est l'équation du même plan !).

    Bon travail !
    Dernière modification par gg0 ; 01/06/2013 à 13h04.

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  10. #7
    Jon83

    Re : Géométrie analytique

    Merci à tous pour vos réponses! J'ai compris la méthode et je trouve au final 3x-y+2z-8=0

    NB: The_Anonimous, j'ai compris qu'en fait tu exprimes que le produit scalaire d'un vecteur normal au plan avec vecteur(AM) est nul.

    Au revoir.

  11. #8
    The_Anonymous

    Re : Géométrie analytique

    Ton équation est juste, c'est effectivement le raisonnement que je n'avais pas explicité.

    Cordialement

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