Géométrie analytique

[Jon83]

Bonjour!

Connaissant le point A(1,-1,2) et la droite d {x=k+1, y=k+3, z=-k+4} est-il possible de trouver l'équation du plan contenant d et passant par A ?
J'ai essayé, en écrivant l'équation du plan sous la forme ax+by+cz+d=0, mais je n'arrive pas à définir les constantes a, b, c et d.
A appartient à P ==> a-b+2c+d=0
d appartient à P ==> a(k+1)+b(k+3)+c(-k+4)+d=0

A priori il me manque deux équations ???
Merci d'avance pour votre aide!
-----

[The_Anonymous]

Ce n'est pas la méthode que je recommanderais.

J'effectuerais plutôt :

Tu sais que appartient au plan, tout comme la droite d'équation paramétrique

.

Pour calculer l'équation du plan, tu calcules, pour et par exemple des points de ta droite qui appartient aussi au plan, .

Cordialement

[Jon83]

Pour calculer l'équation du plan, tu calcules, pour et par exemple des points de ta droite qui appartient aussi au plan, .

Cordialement

Merci pour ta réponse, mais je ne comprends pas bien: le produit vectoriel n'est pas au programme de TS ....

[The_Anonymous]

Et bien alors dans ce cas, tu peux plus simplement prendre minimum deux (voire trois) points de la droite en prenant par souci de simplicité k=0, k=1 et k=2. Avec ces points tu obtiendras minimum trois équations (tu peux y arriver à trois équations en fixant par exemple d=1, mais tu peux très bien résoudre avec 4 équations). Tu arriver alors à des solutions du genre :

a= r*n, b=s*n, c=t*n, d=u*n.

Tu auras alors l'équation du plan recherché rx+sy+tz+u=0.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Et bien alors dans ce cas, tu peux plus simplement prendre minimum deux (voire trois) points de la droite en prenant par souci de simplicité k=0, k=1 et k=2. Avec ces points tu obtiendras minimum trois équations (tu peux y arriver à trois équations en fixant par exemple d=1, mais tu peux très bien résoudre avec 4 équations). Tu arriver alors à des solutions du genre :

a= r*n, b=s*n, c=t*n, d=u*n.

Tu auras alors l'équation du plan recherché rx+sy+tz+u=0.

Cordialement

Merci pour ta réponse!
En prenant d=1 je trouve a=-3/8, b=1/8 et c=-1/4
Puis-je donc dire que l'équation de mon plan est -3x+y-2z+1=0?

[gg0]

Bonjour Jon83.

Ne saisissant pas bien la dernière réponse d'Anonymous, je te propose ceci ;
* Tout d'abord, A n'est pas sur la droite.
* On peut déterminer 2 points distincts B et C sur la droite.
* A, B et C ne sont pas colinéaires, donc est un repère du plan cherché, donc tout point M de ce plan est tel qu'il existe 2 réels a et b tels que . Et réciproquement si , M est dans le plan.
* En traduisant en coordonnées (inconnues pour M, donc M(x,y)) on trouve un système d'équations paramétriques du plan. Les paramètres sont a et b.
* Libre à toi de passer à une équation cartésienne.

Une autre méthode :

Tu écris l'équation sous la forme ax+by+cz+d=0, puis tu traduis que le plan passe par A, B et C. Tu obtiens un système de trois équations à 4 inconnues (a, b, c et d), qui a une infinité de solutions proportionnelles entre elles (2ax+2by+2cz+2d=0 est l'équation du même plan !).

Bon travail !

[Jon83]

Merci à tous pour vos réponses! J'ai compris la méthode et je trouve au final 3x-y+2z-8=0

NB: The_Anonimous, j'ai compris qu'en fait tu exprimes que le produit scalaire d'un vecteur normal au plan avec vecteur(AM) est nul.

Au revoir.

[The_Anonymous]

Ton équation est juste, c'est effectivement le raisonnement que je n'avais pas explicité.

Cordialement