Calcul de somme

[Minialoe67]

Bonsoir

Je dois calculer une somme mais je ne comprend pas la manière de raisonner.
Je sais que: zeta (2) = Somme (pour n appartenant à N*) 1/n² =pi²/6
et je dois calculer Somme (pour n appartenant à n) 1/(2n+1)²

Dans une correction, on décompose
Somme (pour n appartenant à n) 1/(2n+1)² = Somme (pour n appartenant à N*) 1/(2n)² + Somme (pour n appartenant à N) 1/(2n+1)² = 1/4 zeta(2) + Somme (pour n appartenant à N) 1/(2n+1)2 = pⁱ²/6
En isolant on trouve bien pi²/8, ce que je comprend très bien.
Par contre je ne comprend pas du tout l'étape en violet. Pouvez vous m'expliquer?

Sinon, en général, je sais qu'il est rare de pouvoir calculer une somme, mais existe-t-il des méthodes qui apparaissent plus souvent que les autres pour calculer une somme?

Merci! Bonne Soirée
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[gg0]

Bonsoir.

Il y a une erreur au départ; c'est :
Somme (pour n appartenant à n) 1/(n)² = Somme (pour n appartenant à N*) 1/(2n)² + Somme (pour n appartenant à N) 1/(2n+1)² = 1/4 zeta(2) + Somme (pour n appartenant à N) 1/(2n+1)2 = pi²/6
Ou, si tu veux :
Somme (pour k appartenant à N) 1/(k²) = Somme (pour n appartenant à N*) 1/(2n)² + Somme (pour n appartenant à N) 1/(2n+1)² = 1/4 zeta(2) + Somme (pour n appartenant à N) 1/(2n+1)2 = pi²/6
On a décomposé la somme des inverses des carrés en la somme des termes impairs plus la somme des termes pairs.

Cordialement.

[Minialoe67]

Merci j'ai compris, je n'avais pas vu que c'est la somme des termes pairs et des termes impairs!