bonsoir Le chapitre sur le calcul integral commence par le calcul classique
d'une surface ( ex trapeze)delimite par une courbe positive continue et l'axe
des x et deux demi droites d'equation y =a et y=b
On nous dit ensuite que calciul peut etre fait en utilisant les primitives de la
fonction representéé par la courbe
Comment s'explique cela ? merci
Bonjour.
Cela a été découvert au dix-septième siècle ("problème des aires = problème inverse des tangentes"). Cela se justifie intuitivement pour les courbes continues en étudiant la fonction qui à t associe l'aire située entre la courbe (positive), l'axe des x et les droites d'équations x=a et x=t. En étudiant la dérivée de cette fonction de t, on trouve qu'elle vaut f(t).
A plus haut niveau, on définit strictement les aires par des intégrales qui se ramènent (théorème fondamental du calcul intégral) dans ce cas à du calcul de primitive.
Donc pas vraiment d'autre explication qu'une preuve intuitive. Qu'on trouve dans les bons manuels de terminale.
Cordialement.
EDIT : à suppr.
Comment peut-on calculer l'aire qu'il y a sous une courbe sans calculer de primitives ? On fait la méthode des rectangles ?
Pour certaines courbes on sait faire (droites, cercles). la méthode des rectangles donne une valeur approchée seulement.
C'est pour cela qu'on définit très précisément la notion d'intégrale (les notions, il y en a plusieurs) dans l'enseignement supérieur. On faisait ça en terminale il y a 20 ans, on y fait nettement moins de maths aujourd'hui.
Cordialement.
C'est un peu HS comme question mais bon :les méthodes des rectangles donnent quand parfois une valeur très très approchée de l'aire, non ? Peut-on de fait s'en servir pour calculer l'aire sous la courbe d'une fonction dont on ne connait pas de primitives (et est-ce que ça existe d'ailleurs ?) ?
Et du coup, est-ce la seule méthode pour calculer l'aire sous la courbe d'une fonction quelconque sans passer par la notion d'intégrale ?
Bon, ça fait 4 questions mais ça me dérange depuis quelques temps déjà ^^
Et merci pour la réponse précédente !
Dernière modification par Samuel9-14 ; 15/06/2013 à 20h55.
bonjour. et. merci bien. c est intuitif mais ça aide un peu...plus que mon manuel ( Hyperbole ) qui passe sans transition du calcul des rectangles à la notion de primitives
si il existe un lien pour une démonstration. accessible. je. suis preneur. Bonne. journee
Oui.Envoyé par Samuel9-14
En passant à la limite sur un calcul avec un nombre indéterminé n de rectangles, on peut trouver une valeur exacte. Archimède traita l'aire sous la courbe d'une parabole ainsi. Mais ça revient à faire de l'intégration et les primitives (quand il y en a) sont plus pratiques.Peut-on de fait s'en servir pour calculer l'aire sous la courbe d'une fonction dont on ne connait pas de primitives (et est-ce que ça existe d'ailleurs ?) ?
Non, il y a des tas de méthodes. Et calculer les aires n'est que la première utilisation de l'intégration, qui sert à de très nombreuses notions. Que tu verras plus tard.Et du coup, est-ce la seule méthode pour calculer l'aire sous la courbe d'une fonction quelconque sans passer par la notion d'intégrale ?
Cordialement.
Ok, merci pour toutes ces réponses !
Bonjour à tous deux.
Une présentation : Gilles Constantini. Je l'ai rapidement survolée, mais l'auteur est sérieux.
Cordialement.
Merci, je vais lire ça !
bonjour merci mais cela ne repond pas a ma question : pourquoi le recours aux primitives permet de calculer une surface ? merci
je te l'ai dit il y a deux jours (message #2) :
Si tu considères une fonction f continue positive définie sur [a;b], la fonction qui à t (compris entre a et b) associe l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et les droites d'équations x=a et x=t est dérivable et sa dérivée est f.
C'est aussi dans le document de Gilles Constantini.
Si ceci ne répond àa à ton pourquoi, alors il devient difficile d'y répondre. Il n'y a pas de réponse philosophique à ce genre de question, qui relève de la réalité des choses, pas de la fabrication par les hommes.
De la même façon, on peut justifier que (a+b)²=a²+2ab+b² mais pas répondre à "Pourquoi (a+b)² est-il égal à a²+2ab+b² ?".
Cordialement.
