Probabilités - Interprétation

[invitebbd6c0f9]

Bonne nuit tout le monde!

Il me reste pour m'endormir un problème qui persiste, le voici :

hommes se rencontrent à une soirée. À l'entrée, ils déposent leur chapeau noir. En sortant, chacun choisit un chapeau au hasard. Quelle est la probabilité qu'aucun homme ne prenne son chapeau?

J'ai donc compris que la probabilité valait

.

Le nombre de possibilités totales est de .

Par contre, ce qui est des cas où personne ne prend son chapeau, je ne sais pas...

J'ai déjà calculé : pour N=1, il y en a 0; pour N=2, il y en a 1; pour N=3, il y en a 2; pour N=4, il y en a 9; et pour N=5 il y en a sauf erreur 44.

Je n'ai donc pas compris la logique, par quelle formule arrive-t-on à trouver le nombre de possibilités où aucun homme n'a trouvé son propre chapeau?

Cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

Déjà, tu peux commencer par formaliser un peu le problème. Tu numérotes les hommes qui sortent de 1 à n, et tu donnes le même numéro à leur chapeau. En sortant, l'homme numéro i prend le chapeau j. Formellement, tu as donc une bijection (et tu retrouves bien qu'il y a n! bijections possibles). Le problème qui t'est posé est alors de déterminer le nombre de ces bijections vérifiant pour tout .

À première vue, je dirais qu'il est plus simple de raisonner par négation, et de déterminer le nombres de bijections admettant k points fixes, où k parcourt .

[invitebbd6c0f9]

Bonjour Seirios !

J'ai compris votre raisonnement, merci beaucoup !

Il faudrait donc compter le nombre de possibilités telles qu'au moins un homme prend son chapeau, si j'ai bien compris votre message.

Mais alors comment les compter? C'est vrai que du coup je ne vois pas à quoi cela sert, vu que je ne vois pas non plus comment compter ces possibilités...

Merci d'avance de votre aide!

Cordialement

[Seirios]

Pour ma part, je trouve plus simple de raisonner en termes de bijections : pour déterminer le nombre de bijections sans point fixe définies sur , le plus simple doit être d'introduire les sous-ensembles et d'utilise la formule du crible de Poincaré.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il y a une autre solution dans le document de Médiat : http://forums.futura-sciences.com/ma...ombrement.html (cf. Dérangements).

[invitebbd6c0f9]

Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai beaucoup lu et beaucoup appris!

J'en ai donc conclu que la solution à mon exercice n'est autre que

Mais il faut ensuite calculer la limite avec n tend vers l'infini.

Et là, je rencontre un petit hic...

On a .

C'est à la dernière égalité que je bloque...

Je sais que (m'fin par définition) , mais ce que je comprends pas, c'est pourquoi le fait de varier le signe de la fraction (quand c'est pair, positif; quand c'est impair, négatif) nous donne alors l'inverse de (!)

En essayant de décomposer un peu, on arrive à :

et

...

Non, je ne vois vraiment pas...

Si vous pouviez m'expliquer, merci beaucoup!

Cordialement

[Seirios]

J'ai bien envie de dire que par définition, mais cela dépend de la manière dont on t'a défini l'exponentielle.

[Seirios]

Sinon, cela peut se montrer directement : , soit en utilisant le binôme de Newton . Donc .

[invitebbd6c0f9]

Merci encore pour cette deuxième réponse

J'accroche bien à votre deuxième méthode, seulement je ne comprends pas trop quelles explications on pourrait donner pour passer d'un membre à l'autre...

On a donc :

.

En fait ce que je ne comprends pas, c'est qu'il me semble qu'on a à gauche quelque chose du genre :

(a+b+c+d+...+m)(z+y+x+w+...+n) , et à droite on arrive à simplifier tout cela en une simple somme.

Je ne sais pas si c'est l'utilisation du binôme de newton, mais alors je ne l'ai pas remarqué..

En fait, le truc, c'est "est-ce que ?"

Si vous pouviez m'expliquer peut-être plus en détails comment vous déterminez cette égalité, je vous en remercierais grandement!

Ensuite, la deuxième chose que je ne comprends pas, c'est :



N'a-t-on pas

?

Ou bien alors la formule du milieux est ?

Merci de votre réponse!

Cordialement

[Seirios]

En fait, le truc, c'est "est-ce que ?"

En fait, je me rends compte que j'ai fait un énorme abus de notation, la première égalité n'est vraie qu'après passage à la limite, il s'agit du produit de Cauchy de deux séries...

N'a-t-on pas

?

Tous les termes s'annulent, sauf celui pour k=0, qui est ; lorsque l'on travaille sur les séries, il est convenu que .

[Seirios]

Quelle définition de l'exponentielle utilises-tu ?

[invitebbd6c0f9]

Je ne l'ai plus très bien de tête, mais quelque chose du genre :

e^x= y <=> exp(x) = y...

Mais merci pour vos éclaircissements sur le produit de Cauchy, tout est plus clair

Cordialement

[Seirios]

Je ne l'ai plus très bien de tête, mais quelque chose du genre :

e^x= y <=> exp(x) = y...

Et comment définis-tu la puissance sans faire intervenir l'exponentielle et le logarithme ?

[invitebbd6c0f9]

Nous avons défint la fonction exponentielle comme

f : R -> R
x |-> a^x

En ayant pour x appartenant à Q que x = m/n => a^(m/n) = sqrt[n]{a^m}

Et en approchant les nombres R par des rationnels.

Ensuite, on a défini la fonction log comme exp^-1

(En fait, on a posé où x_n converge vers x)

Cordialement

[Seirios]

C'est une définition finalement assez naturelle, mais les propriétés élémentaires de l'exponentielle doivent être plus difficiles à montrer. Comment avez-vous calculer la dérivée de l'exponentielle ?

[invitebbd6c0f9]

Nous n'avons pas appris la dérivation... :')

À part ça, j'ai eu cours aujourd'hui (sur les complexes, spéciale dédi à votre localisation ) et nous avons vu que et donc pour cela nous avons vu que . Du coup, l'affaire est réglée

Cordialement