Formule de Taylor.

[Lucien-O.]

Latex ne s'affiche plus chez moi, est-ce moi qui a un problème ou le forum? J'espère que cela vient de mon pc car, sinon, ce qui suit est illisible.


Bonjour.

J'aborde actuellement la formule de Taylor (je ne sais pas laquelle exactement, j'ai vu qu'il en existait plusieurs).
Et je sèche dés les premières lignes de mon cours qui s'ouvre comme suit :

Soit une fonction dérivable dans

Nous allons déterminer une fonction , polynôme du premier degré qui "approche" la fonction f au point a, c'est-à-dire telle que:

et (1)

Écrivons cette fonction sous la forme : (2) (

Nous devons avoir : équivaut à (3)
équivaut à

D'où :

Le graphique de cette fonction du premier degré est la droite tangente au graphique de en son point d'abscisse . (4)

Voici mes questions: (1) Si nous voulons approcher en , suffirait non? Puisque peut très bien approcher sans avoir la même dérivée?!
(2)Ça a une allure d'accroissement fini mais ce n'est apparemment pas le bon lien puisque (3) vient placer des valeurs tel que l'équation devient l'équation de la tg au point a,...De plus, ces valeurs font intervenir que, je présume, nous ne connaissons pas?
Finalement (4) semble annoncer la nature de l'équation comme un heureux hasard,...J'en déduis qu'il n'était pas intentionnel de faire apparaitre l'équation de la tangente mais alors, comment avons nous déduit et si faire apparaitre la dite équation n'était pas notre intention?

La suite de mon cours n'apporte aucune réponse,...Il s'entête dans des démarches similaires que je comprends d'autant moins que l'on continue à vouloir des dérivées d'ordre n équivalentes à la dérivée d'ordre n de notre fonction. Et dans ce fatras, pas une explication...
Étant donné que je ne parviens pas à saisir la première étape du raisonnement, je suis bloqué.

Merci à ceux qui liront!
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[danyvio]

Moi aussi je vois plein de carrés avec une croix dedans

[The_Anonymous]

Cliquez sur "répondre avec citation", c'est un peu pénible à lire, mais au moins c'est compréhensible

(P.S. : Bonne chance avec la résolution de ton problème! )

[Seirios]

Bonsoir,

L'idée de départ de la formule de Taylor est de trouver un polynôme qui ressemble à une fonction f donnée près d'un point a donné. La question est bien sûr : comment trouver un tel polynôme ? Il se trouve que si P est un polynôme de degré n, alors P est déterminé de manière unique par les valeurs P(a), P'(a), ..., P⁽ⁿ⁾(a). C'est justement un critère intéressant, puisqu'on ne fait que lire les propriétés de P près du point a. Une idée naturelle pour approcher f par un polynôme par un polynôme de degré n près d'un point a est donc de supposer que P(a)=f(a), P'(a)=f'(a), ..., P⁽ⁿ⁾(a)=f⁽ⁿ⁾(a). On cherche ensuite une expression de P en fonction de f, et c'est justement ce qui est fait dans ce que tu décris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lucien-O.]

J'ai réfléchi à votre message Seirios (merci!), puis j'ai de nouveau abordé la formule. J'écris ici ce que je crois comprendre, puis ensuite deux questions concernant des parties qui me sont tjrs vagues.
Pour un réel a quelconque.

Nous connaissons , mais pas la valeur de
Nous connaissons , mais pas la valeur de

Avec et

Nous pouvons poser

Et aboutir à

Nous ne connaissons toujours pas et mais nous pouvons choisir pour a une valeur dont l'image par est facile à trouver. Par exemple, si alors nous pouvons choisir ce qui, pour une première approximation de donnerait :

J'en suis là. Il y a du progrès mais il reste des choses nébuleuses.

Voici mes principales questions:

Je suis troublé que l'on pose comme condition (une fonction peut en approcher une autre en un point sans avoir la même dérivée en ce point) je me l'explique en disant : cela permet d'établir une équation déterminée par et (Comme vous le disiez) et c'est la seule raison.

Ensuite, c'est la forme sous laquelle nous écrivons le polynôme (). Cette forme m'évoquait la formule des accroissements finis mais finalement, il n'y a pas de rapport évident. Je me dis donc que le seul intérêt (ce serait déjà pas mal,...) d'utiliser cette forme d'écriture est de permettre d'inclure et . Donc, cette forme nous "arrange" bien... C'est ça?

Bonne journée et merci de votre aide.

[Seirios]

Nous connaissons , mais pas la valeur de
Nous connaissons , mais pas la valeur de

Si nous connaissons , alors nous connaissons ... Ici, est une fonction que l'on suppose connue et que l'on cherche à approcher par une fonction polynomiale : c'est cette fonction polynomiale qui est l'inconnue et que l'on cherche à exprimer en fonction de . Je pense que ton problème de compréhension vient principalement de cela.

Je suis troublé que l'on pose comme condition (une fonction peut en approcher une autre en un point sans avoir la même dérivée en ce point) je me l'explique en disant : cela permet d'établir une équation déterminée par et (Comme vous le disiez) et c'est la seule raison.

On ne cherche pas à approcher la fonction par un polynôme en un point, mais au voisinage d'un point. Si tu regardes le graphes de la valeur absolue, tu remarques qu'elle prend la même valeur en zéro que la fonction nulle ; pourtant, les graphes ne se ressemblent pas du tout si l'on regarde un peu à côté de zéro. Par contre, si tu prends la fonction carré, cela ressemble déjà plus : non seulement celle-ci s'annule en zéro, mais sa dérivée également. Et si tu augmente la puissance, tu verras que la fonction approche d'autant mieux la fonction nulle au voisinage de zéro que la puissance est grande ; c'est parce que les premières dérivées de coïncident avec celles de la fonction nulle (ie. elles s'annulent).

[Lucien-O.]

Si nous connaissons , alors nous connaissons ...

Ce que j'entendais par connaitre mais non la valeur de , c'est globalement connaitre la fonction mais non ses valeurs particulières par exemple mais . Or, en utilisant Taylor tel que je le comprends je peux dire que ~ en première approximation.

Ici, est une fonction que l'on suppose connue et que l'on cherche à approcher par une fonction polynomiale

Vous me déstabilisez,... doit être plus que supposément connue, elle doit être connue, sinon je ne vois pas comment nous pouvons savoir ce que nous cherchons à approcher?

Si tu regardes le graphes de la valeur absolue, tu remarques qu'elle prend la même valeur en zéro que la fonction nulle ; pourtant, les graphes ne se ressemblent pas du tout si l'on regarde un peu à côté de zéro. Par contre, si tu prends la fonction carré, cela ressemble déjà plus : non seulement celle-ci s'annule en zéro, mais sa dérivée également. Et si tu augmente la puissance, tu verras que la fonction approche d'autant mieux la fonction nulle au voisinage de zéro que la puissance est grande ; c'est parce que les premières dérivées de coïncident avec celles de la fonction nulle (ie. elles s'annulent).

L'exemple que vous me donnez est assez révélateur : "deux fonctions se "ressemblent" lorsque leurs dérivées coïncident",... Je vais y réfléchir.
Etait-ce faux de dire qu'une autre raison de choisir est d'établir une équation déterminée par et . Parce que, avant de penser à cette ressemblance entre deux fonctions, je vois nettement un intérêt à avoir afin d'écrire notre polynôme en fonction de .
C'est ainsi que j'ai interprété:

Il se trouve que si P est un polynôme de degré n, alors P est déterminé de manière unique par les valeurs P(a), P'(a), ..., P(n)(a).

Encore merci.

[gg0]

Lucien-O :

Ce que j'entendais par connaitre mais non la valeur de , c'est globalement connaitre la fonction mais non ses valeurs particulières par exemple mais

Ben ! Tu connaît parfaitement f(7). Tu l'as dit, c'est . Pourquoi voudrais-tu une autre écriture ? Tu as donné la valeur exacte de f(7), pas la peine d'épiloguer.

Pour la suite, de "supposément" vient du fait qu'on peut utiliser la formule pour parler d'une fonction non complétement définie, mais pour laquelle on fait comme si on la connaissait, notée par exemple f. Rien d'extraordinaire à ça, c'est ce qu'on fait tout le temps en maths, donner des noms à des objets pas encore complétement déterminés pour pouvoir calculer avec eux.

Cordialement.

[Lucien-O.]

Je pensais que l'intérêt de la formule était de pouvoir donner des approximations des valeurs d'une fonction,...Alors, évidemment, je sais que mais de sa valeur numérale, je sais seulement ,...

Si telle n'est pas l'utilité d'approcher une fonction au voisinage d'un point par un polynôme,...Je ne sais même pas à quoi sert ce que je m'échine à comprendre.

Que signifie "une fonction non complétement définie"? Que cette fonction se comporte comme une fonction connue sur un intervalle donné?
Si on n'a pas la moindre idée de la forme d'écriture de la fonction, alors comment peut on avoir comme inconnue un polynôme déterminé par des valeurs inconnues? En somme, en déterminant ,...on n'est pas bien avancé.
a étant un réel quelconque et f(a) une fonction inconnue (encore que, je pense que mon cours traite pour l'instant de fonction connue,...).

Merci pour votre patience.

[Seirios]

Je pensais que l'intérêt de la formule était de pouvoir donner des approximations des valeurs d'une fonction,...Alors, évidemment, je sais que mais de sa valeur numérale, je sais seulement ,...

Si telle n'est pas l'utilité d'approcher une fonction au voisinage d'un point par un polynôme,...Je ne sais même pas à quoi sert ce que je m'échine à comprendre.

Attention : le premier paragraphe parle d'approcher f, alors que le second parle d'approcher f(a), ce sont deux choses différentes ! Le but est bien de pouvoir dire que localement (autour du point a), la fonction f ressemble au polynôme P avec une certaine précision.

[gg0]

Lucien-O,

tu confonds valeur approchée et "valeur approchée décimale". Et ici, il n'est même pas question d'approcher un nombre.

1) valeur approchée et "valeur approchée décimale" : est une valeur approchée de à 0,1 près. 3,1 en est une valeur approchée décimale à 0,1 près.
2) Pour x proche de 0, . la valeur approchée x de sin(x) n'a rien à voir avec un décimal.

Cordialement.

[Lucien-O.]

D'accord. Donc pour récapituler:

Le but est d'approcher localement une fonction par un polynôme qui lui ressemble dans un voisinage de .

Cette ressemblance sera d'autant plus précise que les dérivées de et de en coïncident jusqu'à un ordre élevé.

Par conséquent, nous choisirons puis puis .

Et en écrivant notre polynôme de degré sous la forme : (j'ai utilisé z un peu aléatoirement) nous obtenons une équation en fonction de du polynôme recherché puisque cela nous permet de poser


Ce que j'ai écris là, je pense vraiment l'avoir compris. J'ai plus de mal avec l'utilité (le but OK) mais j'imagine qu'elle doit être multiple. Et donc, gg0 le but n'est pas d'approcher un nombre mais une fonction. Ce qui peut être utile pour approcher un nombre, puisque cela peut tout de même me permettre de déterminer une valeur approchée décimale de par exemple. Mais, ceci est moins important. Si ce que j'ai écrit ci dessus est correct alors je pense pouvoir continuer avec ça.

Et merci à vous deux!

[ansset]

tu as fait ( sans le savoir ou pas ) un developpement limité .
ou bien tu en avais qcq connaissance puisqu'apparaissent les n!

[Lucien-O.]

J'ai déjà entendu parler du développement limité, mais je ne sais pas encore de quoi il s'agit.
Ici, j'ai vu le symbole de la factorielle dans la formule de fin de chapitre de mon cours et j'ai cherché à comprendre d'où elle venait,...Et elle est issue du fait que, dans l'équation polynomiale que j'ai écrite, d'où .

J'espère que vous pourrez me confirmer que ce que j'ai dit en #12 (en vous empruntant vos mots et vos idées) est correct et suffisant,...Car j'ai pu sentir le "tilt" et c'est tjrs fort agréable de "tilter".

[gg0]

Oui, ton message #12 est correct.

L'utilité est forte : approximations, calculs de limites, comportement de fonctions au voisiange de 0 ou de l'infini, ...

Cordialement.

[Lucien-O.]

Super, je vous remercie vivement de m'avoir accordé un peu de votre temps!
Je présume qu'il y a donc de la matière en perspective.

Bonne journée.