Géométrie vectorielle dans l'espace

[Erealian]

Bonjour!

Je désespère actuellement sur un problème lié au produit scalaire... >_<

Voici la consigne :

On donne les points A (-2 ; 3 ; -2) et B (-6 ; -1 ; 1). Déterminer les points P de la droite (OI) tels que le triangle APB soit rectangle en P.

Les droites (AP) et (BP) sont orthogonales ; le produit scalaire de AP . BP = 0
J'ai par conséquent pu simplifier cela ainsi : P1² + 8P1 + P2² - 2P2 + P3² + P3 + 7 = 0
Mais à partir de là, je commence à tourner en rond. Je ne connais que 2 points, je ne peux donc pas écrire d'équation paramétrique pour compléter mon équation...
Bref, j'ai vraiment besoin d'aide!!
Je vous remercie infiniment d'avance!
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[ansset]

il manque une information.
quel est ce point I ?
il me semble qu'a ce stade tu n'as qu'une sphère.

[Erealian]

Justement il n'est pas précisé... Je ne sais pas s'il s'agit d'une erreur dans mon livre où s'il y a un moyen de faire les calculs sans cette information...

[gg0]

Bonjour.

C'est bizarre, ce que tu as écrit : " P1² + 8P1 + P2² - 2P2 + P3² + P3 + 7 = 0"
Ce mélange entre des points et des nombres est sans doute aussi un mélange dans ta tête.

Supposons que I est un point défini par ailleurs dans l'énoncé (sinon, ce n'est pas un énoncé, mais un texte incohérent). Pose P(x,y,z) et traduis avec ces coordonnées inconnues :
* Le fait que P est sur OI (2 équations)
* PA.PB=0
ce qui te donnera trois équations à trois inconnues x, y et z, que tu résoudras.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

il me semble que P1=x, P2=y ,.... dans son écriture.

[Erealian]

Pour "P1² + 8P1 + P2² - 2P2 + P3² + P3 + 7 = 0" j'ai voulu représenter le produit scalaire justement...
AP = (p1 + 2 ; p2 -3 ; p3 + 2) et BP = (p1 + 6 ; p2 + 1 ; p3 - 1)
Du coup le produit scalaire AP.BP = (p1 + 2)(p1 + 6) + (p2 - 3)(p2 + 1) + (p3 + 2)(p3 - 1), ce qui, simplifié (sauf erreur), donne l'équation précédente.
En tout cas, merci beaucoup pour votre aide, je vais partir de l'idée qu'une information a été oubliée dans cet énoncé et faire comme vous avez dit .

[ansset]

* Le fait que P est sur OI (2 équations)
!

bjr gg0 : 1 seule non ?

[ansset]

à tout hasard,
l'ensemble des points avec APB rectangle en P est naturellement une sphère.
de centre milieu de AB ( -4,1,-1/2) et de rayon (3/2)rac(5).
reste le fameux point I.
( si I est le centre , alors l'ensemble des points est la sphère, sinon c'est soit 1 point ( droite tangente ) ,2 points ( droite coupant la sphère ) ou rien du tout.

[ansset]

correction, intersection avec une droite , donc ce n'est que 0,1, ou 2 points.
mea culpa.

[gg0]

Ansset :
Pour avoir une droite de l'espace, il faut 2 équations (de plan) sur x, y et z, voire 3 si on prend un système paramétrique, mais alors on rajoute une quatrième inconnue, le paramètre.

Cordialement.

[gg0]

Erealian :

Ok ! le fait que tu aies utilisé la même lettre P m'a trompé ! I ne serait-il pas le point d'abscisse 1 de l'axe des x (repère (O,I,J,K)) ?

Cordialement.

[ansset]

Ansset :
Pour avoir une droite de l'espace, il faut 2 équations (de plan) sur x, y et z, voire 3 si on prend un système paramétrique, mais alors on rajoute une quatrième inconnue, le paramètre.

Cordialement.

effectivement, mea culpa.
j'allais justement m'auto-corriger sur ce point.
cordialement

[Erealian]

Oui, vous avez raison!!!
J'ai fait le calcul en utilisant le point d'abscisse 1 et cela m'a donné la même réponse que celle du corrigé!
Merci beaucoup!!!