Représentation d'un nombre complexe sous forme trigonométrique

[The_Anonymous]

Re-bonsoir!

À nouveau au sujet des nombres complexes, mais plus particulièrement sur la forme trigonométrique, j'ai 2 questions qui me posent problème :

Mettre sous forme trigonométrique (la forme ) les nombres :

1) 3+4i

2) 12+5i.

Le truc, c'est que je sais que par exemple que , mais là, je ne trouve aucun rapport entre par exemple 3 et 4 qui s'appliquerait au cos et au sin de deux valeurs (pareil pour 12 et 5). Alors mais question est simplement :

1) Y a-t-il une valeur remarquable pour ces deux questions?
ou
2) Ne peut-on pas écrire ces valeurs sous la forme ?
ou
3) Doit-on les écrire avec une forme contenant ?

Merci d'avance!

Cordialement
-----

[Seirios]

Bonjour,

Je pense qu'ici les fonctions trigonométriques réciproques vont être nécessaires, à moins de connaître les valeurs exactes de et , ce qui n'est pas mon cas ni celui de wolframalpha.

[PlaneteF]

2) Ne peut-on pas écrire ces valeurs sous la forme ?

Bizarre que tu poses cette question car les 2 nombres en question ont bien évidemment un module et un argument (cf. définition de l'un et l'autre) donc on peut bien les écrire sous la forme demandée !

[gg0]

The_Anonymous,

tu suis une drôle de formation ! En général, on pose les exercices d'application après avoir étudié les règles. Toi, tu sembles faire systématiquement des exercices d'application sans avoir eu de formation sur le sujet. car dans tout cours sur les complexes, on voit comment calculer module et argument d'un complexe donné; ce qui est le fond de ta question (que ce soit la forme trigonométrique ou exponentielle, il suffit d'avoir module et arguments pour écrire).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

Merci beaucoup pour vos réponses! Je vais (essayer d') y répondre séparément

@Seirios :

Oui, je suis tout à fait pour utiliser les fonctions arccos et arcsin! Sauf que je ne sais pas quoi mettre dans la parenthèse!
Je me demande bien comment vous avez fait pour trouver 3/5, car je vois que 5(cos(arccos(3/5)) + i sin(arccos(3/5))) = 5(3/5+i 4/5) = 3+4i. Donc, . (Par contre, j'ai des doutes pour arccos(1/13) [Ce serait plutôt arccos(12/13), petite faute de frappe puis-je supposer ].
C'est en fait ce que je demande, la manière pour arriver à la bonne fraction, savoir quel nombre mettre en évidence.

@PlaneteF :

Ok, je n'avais pas remarqué que tout z complexe pouvait s'écrire sous forme trigonométrique. Le module, c'est pas très compliqué à calculer (oh wait , les dénominateurs des fractions de Seirios *_*).... .... .... Alors... ce qui est à mettre en évidence n'est autre que le module du complexe! Grande découverte ^_^ les réponses sont donc .

@gg0 :

Déjà juste un petit truc qui me perturbe... Dans mon cours il est écrit (je cite) "Tout écriture de la forme avec [les conditions...] est une représentation trigonométrique de z." Mais vous semblez parler de la forme trigonométrique (j'ai déduit que vous parliez de (?)) et de la forme exponentielle (comme il est indiqué dans mon cours) de deux manières différentes... La forme trigonométrique et la forme exponentielle sont-elles deux représentations trigonométriques ? Et alors quand on parle de représentation trigonométrique, est-il juste d'indiquer la forme trigonométrique OU la forme exponentielle ? Merci d'avance

Eh bien je ne connaissais pas cette méthode qui utilisait le module pour calculer l'argument! Le module, je sais le calculer (pas de soucis (quand même) ^^), mais disons que nous n'avons pas trop eu le temps de se pencher sur les arguments pendant le cours faute de temps mais que nos exercices en contiennent quand même... M'enfin, je sais pas, si vous avez plus de questions pour mieux me répondre, vous pouvez toujours me contacter, mais c'est vrai qu'on a parfois du mal à couvrir tout le sujet dans le temps imparti (3 heures en tout pour étudier tout sur les complexes, c'est ... chaud!) et je ne trouve souvent pas ce que je cherche via google... En tous cas, merci beaucoup pour votre aide

Cordialement

[gg0]

Bonsoir.

Donc tu suis effectivement une formation bizarre ! Peut-être une mise à niveau (comme le DAEU en France) qui te fait passer (trop vite) du niveau troisième au niveau bac ?

Considérons un complexe :

je l'ai écrit sous forme algébrique, puis polaire, puis trigonométrique, puis exponentielle.
La dernière forme est bien exponentielle, puisqu'il y en a une, l'appeler trigonométrique alors qu'il n'y a pas les fonctions trigo est assez abusif.
Mais l'essentiel est qu'on n'utilise que 4 nombres, qui par 2 donnent z :
* partie réelle a et partie imaginaire b;
* module et argument .
le lien entre les deux est dans

qui donne


On en déduit la formule que tu connais pour le module ; pour les arguments (puisqu'il y en a une infinité), c'est plus délicat. Voici une méthode simple :
* si a est nul, où le signe est celui de b
* si a >0, alors
* si a <0, alors
Tout ça est évident sur la représentation de z dans le plan complexe.

Par exemple pour z=12+5i :


Fini !

Cordialement.

[gg0]

Bonsoir.

Donc tu suis effectivement une formation bizarre ! Peut-être une mise à niveau (comme le DAEU en France) qui te fait passer (trop vite) du niveau troisième au niveau bac ?

Considérons un complexe :

je l'ai écrit sous forme algébrique, puis polaire, puis trigonométrique, puis exponentielle.
La dernière forme est bien exponentielle, puisqu'il y en a une, l'appeler trigonométrique alors qu'il n'y a pas les fonctions trigo est assez abusif.
Mais l'essentiel est qu'on n'utilise que 4 nombres, qui par 2 donnent z :
* partie réelle a et partie imaginaire b;
* module et argument .
le lien entre les deux est dans

qui donne


On en déduit la formule que tu connais pour le module ; pour les arguments (puisqu'il y en a une infinité), c'est plus délicat. Voici une méthode simple :
* si a est nul, où le signe est celui de b
* si a > 0, alors
* si a < 0, alors
Tout ça est évident sur la représentation de z dans le plan complexe.

Par exemple pour z=12+5i :


Fini !

Cordialement.

[gg0]

Bonsoir.

Donc tu suis effectivement une formation bizarre ! Peut-être une mise à niveau (comme le DAEU en France) qui te fait passer (trop vite) du niveau troisième au niveau bac ?

Considérons un complexe :

je l'ai écrit sous forme algébrique, puis polaire, puis trigonométrique, puis exponentielle.
La dernière forme est bien exponentielle, puisqu'il y en a une, l'appeler trigonométrique alors qu'il n'y a pas les fonctions trigo est assez abusif.
Mais l'essentiel est qu'on n'utilise que 4 nombres, qui par 2 donnent z :
* partie réelle a et partie imaginaire b;
* module et argument .
le lien entre les deux est dans

qui donne


On en déduit la formule que tu connais pour le module ; pour les arguments (puisqu'il y en a une infinité), c'est plus délicat. Voici une méthode simple :
* si a est nul, où le signe est celui de b
* si a > 0, alors
* si a < 0, alors
Tout ça est évident sur la représentation de z dans le plan complexe.

Par exemple pour z=12+5i :


Fini !

Cordialement.

[gg0]

Désolé pour le triple message,

l'enregistrement ne m'avait pas été notifé, à la place j'avais eu un avis de surcharge du serveur (très fréquent ici, je trouve !)

[The_Anonymous]

Avec les petits soucis (je pense que je ne suis pas le seul à avoir été privé de mon forum favori cet après-midi ^^) qu'il a peut-être pu se passer, il n'y a pas de quoi s'en vouloir

M'fin, un énorme merci pour cette belle méthode et ces indications, merci pour le temps pris!

Cordialement