Définitions.

[Lucien-O.]

Bonjour,
J'entame l'étude des espaces vectoriels réels, et j'aurais besoin de préciser quelques définitions de termes récurrents dans l'introduction de mon cours.

Le champ des réels: Quelle(s) nuance(s) avec la droite ou l'ensemble des réels?

R,+,.: Je suppose qu'il s'agit d'une écriture désignant les réels que l'on additionne ou que l'on multiplie entre eux?

Opération interne: Lorsque des éléments d'un même ensemble interviennent dans une opération?

Opération externe: Lorsque des éléments de plusieurs ensembles interviennent dans une même opération?

Commutatif: Pour moi, cela signifie que les éléments d'une opération sont interchangeables sans que cela n'affecte le résultat de l'opération.


Et alors, une dernière petite chose. Concernant les propriétés de la multiplication scalaire mon cours dit :

Pour tout , pour tout :



Bon, cela semble être une distributivité standard, mais il y a une coquille n'est ce pas!? et non
Sauf si a=b bien sûr,...

Merci à ceux qui liront !
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[Seirios]

Bonjour,

Le champ des réels[/U]: Quelle(s) nuance(s) avec la droite ou l'ensemble des réels?

Jamais entendu ce terme...

R,+,.: Je suppose qu'il s'agit d'une écriture désignant les réels que l'on additionne ou que l'on multiplie entre eux?

On désigne souvent comme muni de l'addition usuelle et de la multiplication par un scalaire , qui coïncide avec le produit usuel de deux réels. Mais il y a une nuance dans la structure : désigne l'espace vectoriel, alors que désigne l'anneau (ou le corps).

Opération interne: Lorsque des éléments d'un même ensemble interviennent dans une opération?

Opération externe: Lorsque des éléments de plusieurs ensembles interviennent dans une même opération?

La page de wikipédia est plutôt claire : Loi de composition.

Commutatif: Pour moi, cela signifie que les éléments d'une opération sont interchangeables sans que cela n'affecte le résultat de l'opération.

Formellement, une loi de composition interne définie sur un ensemble est commutative si pour tous .

Bon, cela semble être une distributivité standard, mais il y a une coquille n'est ce pas!? et non
Sauf si a=b bien sûr,...

Bien sûr.

[Lucien-O.]

Merci de la réponse

Je ne comprends pas bien pour dire qu'un ensemble est muni de l'addition usuelle et de la multiplication par un scalaire,...
Que signifie pour un ensemble d'être "muni" d'opérations ?

Je vais prendre le temps de lire attentivement cette page wikipedia! J'aurais du le faire avant (j'ai testé rapidement, mais la page sur la loi de composition interne me rebutait) .

[Seirios]

Je ne comprends pas bien pour dire qu'un ensemble est muni de l'addition usuelle et de la multiplication par un scalaire,...
Que signifie pour un ensemble d'être "muni" d'opérations ?

Une structure algébrique est la donnée d'un ensemble, ici , et d'opérations (internes ou externes), ici et ; on note le tout pour alléger les notations, et l'on dit que l'ensemble est muni des opérations et . Il n'y a donc pas de signification particulièrement originale. C'est une expression très courante lorsque l'on ajoute une structure sur un ensemble.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sylvainc2]

En anglais ils disent "field", en francais on dit "corps". Je suppose que tu ne connais pas le terme francais alors tu as traduit l'anglais par "champ", mais il faut dire corps si tu veux être bien compris.

"Munir" ca veut dire définir une opération de facon appropriée. On dit que (R,+,.) est un corps, donc on définit une loi de composition interne appelée addition, et une autre appelée multiplication, de telle sorte que les axiomes de corps sont respectés. C'est peut-être évident pour toi si je dis 3+4=7 parce que tu l'as appris comme ca, mais si je dis "les quaternions forment un corps non-commutatif", c'est sans doute moins évident si tu ne sais pas ce que c'est que les quaternions. Ca veut dire qu'on peut définir une addition et une multiplication sur les quaternions(pas nécessairement de la même façon que pour les réels cependant) de telle sorte que les axiomes de corps sont respectés. Ca veut dire aussi qu'on peut faire des calculs +, -, x, /, exponentiation, dérivées, integrales, etc, avec les quaternions comme pour les réels.

[Seirios]

Pour la dérivation et l'intégration, on a besoin d'un peu plus que la structure de corps tout de même ; en particulier, la notation de limite nécessite une topologie.

[pallas]

en réalité les + ne sont pas les mêmes car l'un dans R et l'autre dans V donc malgré le symbole commun l'un désigne une loi interne dans R et l'autre une loi interne dans V
Le . est le loi externe de V à operateurs dans R
tu devrais avoir (R,+,x) ( corps des réels et (V,*,.)
et les proprietes sont
a.(u*v)=a.u*a.v
et (a+b).u=a.u*a.v

[Lucien-O.]

Merci à vous deux, Pallas et Seirios, j'ai néanmoins du mal à me débloquer!
Je trouve mon cours tellement austère et avare en définition que j'ai du mal à poursuivre, je reviens donc encore une fois sur des définitions (même si je crois être un peu plus averti qu'il y a peu) car j'essaye d'avoir une image claire en tête de ce sur quoi je travaille. Si vous vouliez bien me reprendre ou me corriger:

: L'ensemble des réels muni de l'addition et de la multiplication, soit l'ensemble qui peut éventuellement subir les opérations internes ou

(avec, par exemple ) : Signifie que est l'opérateur de et est un ensemble muni de l'addition interne.

Et enfin : un espace vectoriel par exemple est un ensemble dont les éléments sont des vecteurs et qui est stable pour l'addition (partout définie et interne) mais qui possède également une loi de composition externe à savoir la multiplication par un scalaire. Ce n'est rien de plus. (Et les propriétés: associativité, distributivité sur l'addition dans ou dans lors d'une multiplication, présence d'un élément neutre, tout élément à un et un seul élément opposé,...sont des propriétés qui découle des deux conditions de base? c'est encore flou ceci pour moi.)

Je sais que je dis des choses très évidente,...C'est pas simple de mettre les idées en place.

Merci d'avance!

[Lucien-O.]

Ah, et aussi, lorsque l'on écrit cela ne signifie pas nécessairement mais plutôt opère sur et le résultat est toujours un élément de n'est-ce pas?

[gg0]

Bonsoir

est l'ensemble des couples (a,b) où a est dans A et b dans B. Rien à voi avec l'idée d'opérer sur un ensemble.
Si A et B sont des k-espaces vectoriels, alors est facilement (canoniquement, naturellement) muni d'une structure de k-espace vectoriel (espace vectoriel produit). Je te laisse voir comment on définit les deux opérations (le plus simplement) et vérifier les axiomes des espaces vectoriels.

Cordialement.

NB : Dans ton cas, A=B=E.

[Lucien-O.]

Merci à vous, C'est très sympathique, je vais y réfléchir,...Mais instamment je ne comprends presque rien à votre message,...
Je sors d'un cours d'analyse et je démarre sur des chapeaux de roues dans l’algèbre linéaire sans notion de vecteur ni de théorie des ensembles. Le vocabulaire que vous employez m'est complètement étranger : la notion d'axiome est vague (pour moi c'est une proposition que l'on a admise et qui constitue la base de quelque chose : raisonnement, théorème,...), je ne saisis pas bien ce qu'est un espace vectoriel et encore moins un k-espace vectoriel.
Canoniquement dans ma tête signifie "selon les canons, les standards".
Bref,...je suis perdu avec toutes ces notions.

Si AxB est l'ensemble des couples (a,b) que peut bien vouloir dire (a,b)->E?! C'est là que j'imaginais une opération entre A et B.

Pourriez-vous également me reprendre sur le message #8 svp ?

Bonne soirée.

[Seirios]

Essayons de reprendre du début.

1) Une loi de composition interne sur un ensemble est une application ; plutôt que de noter , on préfère écrire pour faire le lien avec les opérations usuelles. Donc à chaque couple d'éléments de , on associe l'élément de .

Par exemple, l'addition ou la multiplication de réels ou d'entiers ou de complexes définissent des lois de composition internes. On peut également considérer la somme de vecteurs, le produit vectoriel, le produit de fonctions à valeurs réelles, des convolutions, etc.

2) Une loi de composition externe sur un ensemble par rapport à un ensemble est une application ; plutôt que de noter (où et ), on écrit .

Pour les espaces vectoriels, l'exemple qu'il faut avoir en tête est la multiplication d'un vecteur par un scalaire.

3) Un espace vectoriel sur est la donnée d'un triplet où est un ensemble, est une loi de composition interne et une loi de composition interne, de sorte que les propriétés suivantes sont vérifiées :
- Il existe un élément de , noté , vérifiant pour tout .
- Pour tout , il existe un élément noté tel que ; on écrit alors plutôt .
- Pour tous , .
- Pour tous , .
- Pour tout , ,
- Pour tous et , .
- Pour tous et , .
- Pour tous et , .

Ce qu'il faut retenir, c'est qu'un espace vectoriel est un ensemble sur lequel on dispose de deux opérations, l'une interne et l'autre externe, avec un certain nombre de propriétés qui nous permettent d'avoir des calculs simples, je diras même naturels dans le sens où l'on souhaite généraliser les propriétés des espaces de vecteurs .

Pour la définition plus générale d'espace vectoriel, il faut introduit la notion de corps, mais ce serait un peu lourd pour l'instant, mieux vaut d'abord te familiariser avec les espaces vectoriels sur le corps des réels.

Pour terminer, je dirais qu'il n'est pas absolument nécessaire que tu comprennes ce qu'est vraiment un espace vectoriel pour l'instant : c'est une structure abstraite dont tu viens à peine de commencer l'étude, donc il est tout à fait normal que tu ne saches pas à quoi ressemble un tel espace. Par contre, cela peut t'aider de garder l'exemple des en tête, en regardant comment les propriétés des espaces vectoriels se traduisent dans ces espaces.

[gg0]

OK !

Restons dans ce cadre (espaces vectoriels réels).
Ce que tu dois comprendre, Lucien-O, c'est que les mots de théorie des ensembles que j'ai utilisés sont utilisés constamment par tes profs, et que, si tu as fait de l'analyse, ils ont été déjà utilisés. Peut-être sans que tu les entende ou les comprennes. Il n'y a d'ailmleurs rien de difficile (on enseignait ça aux collégiens en sixième à une époque) : la notion d'ensemble est intuitive (une collection qu'on sait déterminer). La notion de couple est aussi assez intuitive : deux objets dans l'ordre (2;5) est un couple d'entiers, le premier est 2; (5;2) est un autre couple; (a,7) est un couple d'une lettre et d'un chiffre.
Reste "vecteur" qui est simplement un raccourci pour dire un élément d'un espace vectoriel. L'origine de ce mot vient des vecteurs géométriques qui ont donné les premiers exemples d'espaces vectoriels. Si tu n'as jamais vu ça, pas d'importance.

Par contre, je suis sans doute allé trop vite, ayant cru que une semaine après tu avais assimilé les définitions et parlais d'applications linéaires. Si je comprends bien, tu en es toujours à la loi de composition interne. Si ce n'est pas ça, il faudra que tu expliques vraiment de quoi tu parles, car une notation sans contexte ne signifie rien.
Donc "on munit l'ensemble E d'une loi + : ExE-->E"
ça signifi simplement qu'on a défini une façon d'associer à tout couple d'éléments de E (relis mon message précédent pour savoir ce que veut dire ExE) un élément de E. On le note soit fonctionnellement (la notation A-->B désigne une fonction de A dans B, une façon d'associer de façon unique à chaque élément de A, appelé antécédent, un élément unique de B, son image), soit comme d'habitude pour les opérations. Au couple (a,b), on associe a+b.
C'est une présentation abstraite pour une chose que tu as fait souvent (addition, multiplication de nombres, par exemple).
Ne cherche rien de mystérieux, cette présentation est faite seulement pour pouvoir s'utiliser dans des cas bien plus larges que tes habitudes.

En réponse à tes interrogations, j'ai bien employé les mots axiomes et canoniquement comme tu les comprends. j'ai d'ailleurs donné une traduction en même temps ("facilement (canoniquement, naturellement)" trois adverbes pour bien me faire comprendre).

Petite curiosité : Tu suis quelle formation pour faire ça sans avoir jamais rencontré la notion de couple ou celle de vecteur ?

Cordialement.

[Lucien-O.]

Ouf, je ne m'attendais pas à des réponses autant fournies!
Je vous remercie chaleureusement pour vos messages exhaustifs et je vais prendre tout mon temps pour les lire!

OK !

Petite curiosité : Tu suis quelle formation pour faire ça sans avoir jamais rencontré la notion de couple ou celle de vecteur ?

Cordialement.

J'ai arrêté l'école très jeune (à 15ans), suite à quoi je me suis formé seul d'une façon très ébouriffée (je lisais des bouquins, mais n'en tirait pas le suc) en prenant toujours soin d'éviter les sciences (sauf dans les livres d'Hubert Reeves ou d'Albert Jacquard et un de Feynman (la nature de la physique)).
En vérité, tout le décorum qui entoure les matières scientifiques m'impressionnait et je pensais que ça ne me correspondait pas.
J'ai passé un examen d'admission à l'unif (niveau minimal en math), dans l'espoir de m'orienter vers la médecine (bcp d'intérêt pour la psychiatrie) mais je n'ai pas osé rentrer car j'étais conscient de mes lacunes et j'ai par conséquent de nouveau trainé chez moi en niaisant.
Finalement, j'ai assisté à une conférence de Cédric Villani en Mars ou en Avril de cette année et c'est ce qui m'a donné une forte envie de faire le pas vers les maths.
Disons que je ne connaissais pas grand chose au delà de la résolution d'équation du second degré.
J'ai pris des cours par correspondance et cela fait approximativement 5 mois et des poussières que je suis dans l'effort et que j'espère pouvoir entrer en fac de math.
Je ne saurais pas décrire ma formation autrement qu'en décrivant grosso modo l'aléa de ma trajectoire, ce fut de l'officieux pur

Bonne journée!

[gg0]

Ok,

je comprends mieux. J'avais quelques soupçons de ce genre de trajectoire, à vrai dire.

Bon courage !

[Lucien-O.]

Bonjour,

Après lecture de vos réponses, voici ce que j'en retire (je redis pour ainsi dire ce que vous m'avez dis, mais si vous pouviez éventuellement me rectifier) en 1) une brève définition et en 2) une question :

1) Un espace vectoriel sur est un ensemble disposant d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe par rapport à l'ensemble .

Cette "structure" de l'ensemble entraine plusieurs propriétés intrinsèques au fait que les lois "interagissent".

Par exemple, de la loi on déduit d'où l'on déduit la présence d'un élément neutre pour l'addition dans notre espace vectoriel.
Ou encore et l'on déduit que chaque élément à un et un seul opposé.

Je ne sais pas vraiment d'où viennent les propriétés d'associativité, ou de distributivité, mais, puisqu'on les retient intuitivement, je vais, momentanément, me contenter de les appliquer.



2) Il ne reste qu'une chose qui me travaille au sujet des notations :

3) Un espace vectoriel sur est la donnée d'un triplet où est un ensemble, est une loi de composition interne et une loi de composition interne

Je comprend moyennement l'expression "être la donnée d'un triplet", mais surtout : Comment sait-on que le de évoque une loi de composition externe? Car dans le cas le évoque une loi de composition interne non? Je m'explique cela en me disant que nous avons parlé d'espace vectoriel sur (soit d'un ensemble avec une loi de composition interne et une externe) avant de parler de ,...Et je me dis alors que cela reviendrait au même de dire: " Un espace vectoriel . Correct?

Merci à vous de m'avoir éclairé!

[gg0]

Bonjour.

La loi externe . n'est pas le produit habituel (entre réels) noté ou éventuellement . pour aller vite. C'est une opération entre éléments de deux ensembles différents et E (sauf dans un cas particulier). par exemple pour l'espace vectoriel des couples de réels, , on a 2.(3;4)=(2x3;2x4)=(6,8) et on voit bien que 2 ne multiplie pas un réel. Mais comme les propriétés sont très proches de celles de la multiplication des nombres réels, on continue à dire multiplication. L'addition des couples non plus n'est pas une addition de réels : (2;3)+(4;-1)=(6;2).
On pourrait changer les notations pour bien faire la différence :
et
mais même toi tu en aurais vite marre !!

Par exemple, de la loi on déduit d'où l'on déduit la présence d'un élément neutre pour l'addition dans notre espace vectoriel.

Non, la présence d'un élément neutre pour l'addition fait partie des hypothèses (des propriétés demandées) de la loi + qui doit être associative, commutative, avoir un élément neutre et telle que tout élément a un symétrique. S'il n'y a pas d'élément neutre, tu n'as pas de .
Pour avoir un espace vectoriel il fut avoir les 8 propriétés (si on pouvait en enlever, on l'aurait fait; on ne donne pas de mots de trop dans les définitions, encore moins de propriété inutile).

Je ne sais pas vraiment d'où viennent les propriétés d'associativité, ou de distributivité ...

Ce sont des propriétés habituelles des calculs, tu les utilises déjà depuis des années dans les calculs sur les réels (développements, simplifications, ...). le fait de les avoir permet de "calculer comme d'habitude".

Cordialement.

NB : Beaucoup de questions qui te paraîtront vite futiles. La théorie des espaces vectoriels sert à simplifier pas mal de techniques classiques en les unifiant dans une présentation commune. C'est un outil, un "couteau suisse", rien de plus; pas de mystère. Mais il faut en faire suffisamment pour s'y habituer.

[Lucien-O.]

Bonjour.

La loi externe . n'est pas le produit habituel (entre réels) noté ou éventuellement . pour aller vite.

oui, c'est la distinction que faisait Seirios en début de conversation entre l'espace vectoriel et anneau, merci!

On pourrait changer les notations pour bien faire la différence :
et
mais même toi tu en aurais vite marre !!

Vous sous-entendez que je pinaille ? (C'est un peu vrai,...désolé)
Mais je comprends l'idée.

Pour avoir un espace vectoriel il fut avoir les 8 propriétés (si on pouvait en enlever, on l'aurait fait; on ne donne pas de mots de trop dans les définitions, encore moins de propriété inutile).

Et ces 8 propriétés se déduisent des deux lois qui structurent notre espace vectoriel. Je n'avais pas pensé que la présence de l'addition impliquait associativité, commutativité, élément neutre et la symétrie des éléments. Et la multiplication scalaire entraine naturellement les 4 autres propriétés.

Du coup, je pense avoir mis au point ce que je voulais que et, avec la pratique, j'espère que ça deviendra intuitif!

[Seirios]

Et ces 8 propriétés se déduisent des deux lois qui structurent notre espace vectoriel. Je n'avais pas pensé que la présence de l'addition impliquait associativité, commutativité, élément neutre et la symétrie des éléments. Et la multiplication scalaire entraine naturellement les 4 autres propriétés.

Attention, les propriétés font partie de la définition d'un espace vectoriel. Il y a des structures où elles ne sont pas vérifiées ; ce sont alors pas des espaces vectoriels, mais autre chose.

[Lucien-O.]

Bonjour,

Ces propriétés vont de pair avec les deux lois et non? En revanche, je conçois bien que ces propriétés peuvent être vérifiées sans que les deux lois soient respectées mais je n'envisage pas le cas ou les lois seraient respectées sans que les propriétés soient vérifiées.

Soit, je vais laisser mûrir ces notions!
Quoi qu'il en soit, j'en sais assez pour m'engager dans la matière et je l'dois à votre patience, encore merci!

[PlaneteF]

Bonjour,

Ces propriétés vont de pair avec les deux lois et non?

Ben non, pas du tout, c'était justement le sens du message de Seirios.

Tu peux très facilement trouver une addition dans R qui ne soit pas associative ;

Allez la première qui me vient à l'esprit : x plus y = x²+y². Facile de vérifier que cette loi plus n'est pas associative.

En revanche, je conçois bien que ces propriétés peuvent être vérifiées sans que les deux lois soient respectées mais je n'envisage pas le cas ou les lois seraient respectées sans que les propriétés soient vérifiées.

Qu'est-ce que tu appelles une loi "respectée"

[Seirios]

Tu peux très facilement trouver une addition dans R qui ne soit pas associative ;

Allez la première qui me vient à l'esprit : x plus y = x²+y². Facile de vérifier que cette loi plus n'est pas associative.

Une autre : la soustraction ; même s'il est plutôt tordu de noter additivement la soustraction

[PlaneteF]

Une autre : la soustraction ;

En fait c'était l'exemple que je voulais mettre initialement mais cette loi n'est pas commutative et je ne voulais pas mélanger les notions pour ne pas potentiellement "embrouiller" !

même s'il est plutôt tordu de noter additivement la soustraction

perso j'aime bien, çà a de la gueule

[gg0]

Pour être clair :
Si + est l'addition des réels et . la multiplication d'un réel par un réel, alors les 8 propriétés sont vraies (On dit que R est un espace vectoriel réel. mais dans la définition, il ne s'agit plus à priori de ces deux opérations.

Lucien_O : Toujours trop de mots, qui t'embrouillent, au lieu de ne tenir compte que de la définition. Rien que de la définition.
Un espace vectoriel c'est ce qui vérifie la définition. Rien à comprendre, rien de plus.

Cordialement

[Lucien-O.]

Ok, bon,...ça m'embrouille,...

Pour moi l'addition est associative. Si associatif signifie : .
Donc dans ma tête, c'est: "où que l'on mette les parenthèses dans une expression, sa valeur reste identique"

Je ne relie pas cette définition à votre exemple

x plus y = x²+y². Facile de vérifier que cette loi plus n'est pas associative.
Qu'est-ce que tu appelles une loi "respectée"

Vous vouliez mettre en évidence que n’égale pas ? Sauf que l'on manipule des soustractions dans cet exemple,...d'ailleurs ce qui montre que:
1)La soustraction, notée comme une addition, est associative.
2)Vu vos commentaires, je me trompe.

(Pour la loi je disais une bêtise, une loi "pas respectée" était en fait, comme je l'entendais, une absence de loi sur l'ensemble,... J'avais en tête des parties de vectoriels où les lois n'avaient plus court mais ou les propriétés étaient toujours vérifiées.)

Pour être clair :
Lucien_O : Toujours trop de mots, qui t'embrouillent, au lieu de ne tenir compte que de la définition. Rien que de la définition.
Un espace vectoriel c'est ce qui vérifie la définition. Rien à comprendre, rien de plus.

Encore faut-il réunir les éléments de la définition, les sources sont multiples et les infos y sont souvent disséminées (il n'y a qu'à voir wikipédia).

Bon, je retiens celle (encore approximative donc,...) de l'espace vectoriel (un ensemble avec deux lois de composition et 8 propriétés) c'est la principale info que je recherchais.

Au reste, je continue de travailler et tout ça finira par prendre du sens!

Merci à tous.

[PlaneteF]

Vous vouliez mettre en évidence que n’égale pas ? Sauf que l'on manipule des soustractions dans cet exemple,...d'ailleurs ce qui montre que:

Non pas du tout, tu mélanges tous les exemples ... je te rappelle la définition que j'ai donné pour la loi plus :

Cette loi n'est pas associative parce que : est différent de

1)La soustraction, notée comme une addition, est associative.

Ce n'est pas la façon de noter une loi qui lui confère une propriété, et ainsi quelle que soit la notation choisie la soustraction de réels n'est évidemment pas associative !

[PlaneteF]

Pour compléter mon dernier message :

Avec la soustraction notée comme une addition cela donne :

qui est bien différent de

donc la soustraction de réels n'est pas associative dans cette notation là ou bien dans n'importe quelle autre !

[Lucien-O.]

J'y reviendrai dans l'avenir, je pense ne jamais avoir défini rigoureusement les notions d'associativité etc,...
Bref, du coup, pour ma part, je vous lis un peu sans base et ça reste stérile puisque je ne vois pas bien de quoi on parle. Désolé.

Je me suis débloqué pour l'espace vectoriel réel (ce qui était le but que je poursuivais) et certaines notations, le reste viendra.

Merci beaucoup pour votre patience et bonne soirée!

[PlaneteF]

J'y reviendrai dans l'avenir, je pense ne jamais avoir défini rigoureusement les notions d'associativité etc,...
Bref, du coup, pour ma part, je vous lis un peu sans base et ça reste stérile puisque je ne vois pas bien de quoi on parle. Désolé.

Je me suis débloqué pour l'espace vectoriel réel (ce qui était le but que je poursuivais) et certaines notations, le reste viendra.

Ce que tu dis là me laisse pantois

Etudier les espaces vectoriels dans un premier temps, puis la notion d'associativité plus tard, c'est clairement "mettre la charrue avant les bœufs", c'est un peu comme étudier le théorème de Gödel en premier puis les tables de vérité ensuite

Si je peux donner mon avis, il y a quelque chose qui "cloche" dans ta démarche.


Cordialement

[PlaneteF]

le théorème de Gödel

"les théorèmes de Gödel" devrais-je dire