Probabilités - Somme

[Teddy-mension]

Bonjour à tous !
Je me suis récemment retrouvé confronter à un petit problème de probabilité concernant un jeu. Ayant un peu de mal, je fais appel à vous. Je vous simplifie l'énoncé, qui sinon ferait appel à des références du jeu que vous n'avez sûrement pas.
La probabilité de fusionner deux objets est égale à . On effectue plusieurs tentatives (qui sont indépendantes) de fusion, et on essaye de calculer la probabilité que ces deux objets fusionnent avant 50 tentatives (le "avant" est inclusif).
Après un peu de réflexion, je suis parvenu à en déduire que cette probabilité était égale à:

Ce qui se simplifie en:

Déjà, je voudrais savoir si cette affirmation était correct. Ensuite, une fois que j'arrive ici, je ne sais pas du tout comment faire.. A part faire le calcul de chaque terme de la somme, mais ça prendrait bien trop temps.
Sinon, je m'étais dit qu'il fallait peut être passer par un événement inverse ?

Dans l'attente de vos réponses, je vous souhaite de passer une bonne journée !
Teddy.
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[gg0]

Bonjour.

Je ne vois pas de raison à cette expression. Le problème est classique.
la probabilité qu'il y ait fusion au premier essai est 1/100. Celle qu'il y ait fusion au deuxième est 0,99*1/100 (et pas le double comme dans ta formule) puisqu'il faut qu'il n'y ait pas eu encore fusion et qu'elle se produise. Et ainsi de suite ...

"Ensuite, une fois que j'arrive ici, je ne sais pas du tout comment faire.. " cette somme se calcule très rapidement avec un tableur ou une calculette.

"Sinon, je m'étais dit qu'il fallait peut être passer par un événement inverse ?" Excellente idée ! Pourquoi n'avoir pas essayé ?

Cordialement.

[Teddy-mension]

Tout d'abord merci pour votre réponse gg0 !

Je ne vois pas de raison à cette expression. Le problème est classique.
la probabilité qu'il y ait fusion au premier essai est 1/100. Celle qu'il y ait fusion au deuxième est 0,99*1/100 (et pas le double comme dans ta formule) puisqu'il faut qu'il n'y ait pas eu encore fusion et qu'elle se produise. Et ainsi de suite ...

Ah d'accord oui ! En fait je crois qu'ici je suis parti du principe suivant:
Pour la 1^ère tentative, je calcule la probabilité que la fusion ait lieu, normalement.
Pour la 2^nde tentative, je calcule la probabilité que la fusion ait lieu à la première tentative ou à la deuxième, et cela jusqu'à . Là est mon erreur (arrêtez-moi si je me trompe !)

Sinon, en revenant au problème:
Ce serait donc ? (*)
(Soit la probabilité que ça fusionne au 1 puis qu'on s'arrête, + la probabilité que ça fusionne 2 puis qu'on s'arrête, + ...)

cette somme se calcule très rapidement avec un tableur ou une calculette.

Ah, oui bien sûr, mais je voulais savoir si y'avait un "truc" pour le faire à la main (je sais pas si c'est possible ?) ! Ça peut toujours m'entraîner à faire des calculs sur les sommes.

Excellente idée ! Pourquoi n'avoir pas essayé ?

J'attendais d'abord de voir si j'étais parti dans le bon chemin avec ma première "méthode" en fait.. Visiblement non !
Du coup, cet événement inverse serait "Les deux objets ne fusionnent pas avant la 50ème tentative" et donc "Nous avons 50 échecs pour les 50 premières tentatives".
Et là ça fait.. ?
Ce qui ne semble pas cohérent avec (*)
[Je suis pas un pro' des sommes, mais j'imagine.]

Cordialement.

[gg0]

Effectivement,


Le premier fait environ 0,395, le deuxième 0,605. Normal ce sont des événements contraires. Tu as oublié de soustraire à 1.
D'ailleurs l'égalité

est une simple application des formules sur les suites géométrique (somme de termes successifs).
Tu as donc deux méthodes différentes.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Teddy-mension]

Effectivement,


Le premier fait environ 0,395, le deuxième 0,605. Normal ce sont des événements contraires. Tu as oublié de soustraire à 1.

Ah mais oui, j'suis nouille moi !

D'ailleurs l'égalité

est une simple application des formules sur les suites géométrique (somme de termes successifs).

Effectivement !

Merci pour tout en tout cas !

[Teddy-mension]

Au passage, je me posais la question.. Peut être la trouverez-vous bête, mais il faut que je la pose. x)
En fait je trouve assez amusant le fait de calculer une somme assez facilement en passant par les événements inverses, alors que cela peut paraître assez compliqué (du moins pour un Terminale) au départ.

D'où cette question: passer par les probabilités peut-il être un moyen de calculer des sommes (*) plus difficiles ?
Par cette question, j'entends associer à la somme la probabilité d'un événement (*), chercher la probabilité de l'événement inverse, qui pourrait à ce moment là être plus facilement calculable, pour ensuite en déduire trivialement le résultat de la somme.

(*) Je dis des sommes, mais ma question peut s'élargir à des opérations différentes bien sûr !

(*) Tout le problème se situerait ici en fait: est-ce vraiment réalisable ?

[gg0]

C'est effectivement une possibilité.

Je ne suis pas spécialiste, mais il existe des preuves "probabilistes" parfois nettement plus simples que les preuves algébriques ou analytiques. les cas que j'ai rencontrés sont pour des propriétés plus délicates que des calculs de sommes.

Cordialement.

[Teddy-mension]

Entendu, merci pour le renseignement !