Equations différentielles, solution particulière.

[Sup_Dai]

Bonjour à tous,

Vous savez surement que le nouveau programme en terminale a enlevé les équations différentielles.
Mais j'en aurai besoin pour l'année prochaine .
IL y a un point du chapitre que je ne comprends pas. Il s'agit de la solution particulière qu'on peut déterminer grace à ce
tableau que j'ai mis en lien.
C'est un peu théorique et j'ai du mal à comprendre.
Je ne sais pas comment déterminer l'équation caractéristique et comment savoir si r est solution ou non de cette équation caractéristique.
Je comprendrai si vous me donniez un exemple s'il vous plait. Sinon vous pourriez m'orienter vers un site ou quoi que ce
soit parce que je n'ai rien trouvé de satisfaisant.

Merci beaucoup .
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[gg0]

Bonjour.

Pour l'instant, tu mélanges un peu tout (mais ton bouquin,celui que tu as copié, semble compliquer et mélanger un peu tout !) . Reprends les choses clairement (en écrivant la méthode pour toi, par exemple, avec une organisation en paragraphes, sous-paragraphes, ...). Et peut-être avec un autre bouquin.

"comment savoir si r est solution ou non de cette équation caractéristique. " Comme d'habitude ! Tu sais résoudre des équations de degré 1 ou 2, tu appliques !
"Je ne sais pas comment déterminer l'équation caractéristique " : En appliquant la méthode. Simplement.

"Je comprendrai si vous me donniez un exemple s'il vous plait. Sinon vous pourriez m'orienter vers un site ou quoi que ce
soit parce que je n'ai rien trouvé de satisfaisant." ????
Il n'y a pas d'exemples dans tout ce que tu as lu ? Cherche vraiment, il y en a presque systématiquement. Et lis l'exemple en appliquant la règle générale.

Bonne réflexion !

[gg0]

A noter : Si a=0, on ne dit généralement pas que l'équation différentielle est de ce type, car c'est une équation évidente, qui dit que f est une primitive de f.
Le bouquin ayant voulu voir tous les cas, même ceux qu'on n'utilise jamais, il aboutit à compliquer la situation !

[gg0]

Pour faire plus simple que le bouquin :

équation y'+ay=g(x) où y (l'inconnue) est une fonction de x et y' est sa dérivée par rapport à x.
Si a=0, alors y est une primitive quelconque de g(x). Si on sait trouver des primitives de g(x), on trouve y.
Si a est non nul, on cherche une solution générale de l'équation "sans second membre" y'+ay=0. Puis une solution particulière de l'équation complète. On obtient la solution générale de l'équation en ajoutant les deux.
étape 1 : solution générale de l'équation "sans second membre" y'+ay=0; L'équation caractéristique (d'inconnue r) est r+a=0 (on a remplacé y par 1, y' par r, y" par r², etc -Dans ce cas, il n'y avait que y et y'); la solution générale est où r est la solution de l'équation caractéristique. Comme la solution est r=-a,
étape 2 : une solution particulière de l'équation complète. On s'appuie sur la forme du second membre. Si c'est un polynôme, on essaie un polynôme de même degré; si c'est une exponentielle, une exponentielle du même genre (sauf si où k est une constante, auquel cas, on essaie un où C est une constante. Si ... mais il y a le tableau pour les cas les plus fréquents (en laissant tomber les "si a=0). Si on n'a rien, on peut utiliser la méthode de "variation de la constante".

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]