Probabilités conditionnelles

invitebbd6c0f9 · 19/08/2013, 16h40

Bonjour à tous! Ça faisait longtemps que je n'avais pas posté!

Je bloque aujourd'hui sur un problème de probabilités conditionnelles. J'ai vu ce sujet avant les vacances et je dois avouer que j'ai du mal à choisir les bons événements pour faire les bons calculs...

Voici le problème qui est en fait un jeu :

On a dix boules numérotées de 1 à 10 réparties dans deux boîtes, les boules 1 à 5 dans la première, les boules 6 à 10 dans la deuxième. Le jeu consiste à choisir une des deux boîtes qui ne sont pas différenciables, puis à choisir une des 5 boules dont on ne voit bien sûr pas le numéro! Si l'on tire une boule qui est un multiple de 3, alors on a gagné.

Question n°1 : Quelle est le probabilité de gagner?

Question n°2 : Quelle est le probabilité de gagner, sachant qu'on a tiré la première boîte? (Raisonnement de probabilité conditionnelle).

Question n°3 : Quelle est le probabilité de gagner, sachant qu'on a tiré la deuxième boîte? (Raisonnement de probabilité conditionnelle).

Question n°4 : Faire un arbre et placer les probabilités sur chaque branche.

Réponse n°1 : Il m'a semblé logique de répondre $\text{[math]}$ . Comme on a la même probabilité de tomber sur les dix boules, et que 3 boules sont gagnantes, alors on a bien trois dixième.

Réponse n°2 : (Et c'est là que ça se complique

.) Intuitivement, je réponds $\text{[math]}$ . Comme on sait qu'on a tiré la première boîte, alors on a la même probabilité de tomber entre les boules 1, 2, 3, 4 et 5, et comme seule la boule 3 est gagnante, alors on a un cinquième.

Mais quand j'essaie de monter un raisonnement de probabilité conditionnelle, ça se complique.
Je choisis les deux événement suivants : A = "Tirer la boule "3" parmis les boules de la première boîte" car c'est la probabilité recherchée et B = "Tirer la première boîte" car c'est l'événement qui s'est réalisé, et j'essaie donc de calculer $\text{[math]}$ .

Par définition, j'ai donc que $\text{[math]}$ .
Je pense que $\text{[math]}$ . Mais que dire de $\text{[math]}$ ? Si j'essaie de raisonner "en français", tirer la boule 3 et tirer la première boîte revient à tirer la boule 3, donc $\text{[math]}$ et donc $\text{[math]}$ , ce qui ne correspond donc pas à mon raisonnement intuitif.

Et si j'essaie encore de retourner la chose, sachant que $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ . Mais calculer $\text{[math]}$ me semble tout à fait absurde ( =1 ?)... Bref, je tourne en rond.

Réponse n°3 : Exactement la même situation, intuitivement j'ai 2/5, calculatoire, j'ai 2*P(A).

Réponse n°4 : En fait là, c'est surtout une incompréhension de la consigne : comme je l'ai dit en réponse n°1, je mettrais une proba de 1/10 sur chaque boule et une proba de 1/2 sur les deux boîtes. Du coup, je ne vois pas l'intérêt et donc je doute fort que ce soit ce qui est demandé.

Pour les réponses n°2 et n°3, je ne sais pas si mon raisonnement de probabilité conditionnelle est faux, ou alors si je n'ai toujours pas compris ce qu'est vraiment une proba conditionnelle.

On a fait un exemple en cours, et c'est vrai que je reste perplexe.
Apparamment connu, c'est la situation d'un jeu TV où l'on doit choisir entre 3 portes, derrière lesquelles il y a 2 chèvres et une voiture. On choisit la première porte. Le présentateur nous indique qu'une chèvre est derrière la 3ème porte. La probabilité (conditionnelle) est alors plus grande de tomber sur la voiture en choisissant la 2ème porte. Et je ne comprends vraiment pas cela.

Merci énormément de toutes les réponses que vous pourrez me donner!

Cordialement

invite621f0bb4 · 19/08/2013, 16h58

Commençons par la question 2 :

L'intersection de A et B d'après moi c'est tout simplement P(A)*P(B), les deux événements me paraissent indépendants, non ?
Et on a (1/2) (la chance de prendre la boîte A) * (1/5) (la chance de tirer la boule 3) * 2 (P(B)) = 1/5

La question 3 :
Même chose que pour la 2.

Pour la 4 : Quelle serait la forme de ton arbre ? Moi je mettrais deux branches qui partent de la même base pour chaque boîte, et après 5 branches partant de chaque boîte... Et puis pourquoi ne te demanderait-on pas quelque chose "qui n'a pas d'intérêt" immédiat ?

Pour le problème du jeu TV, va regarder Las Vegas 21

Plus sérieusement, intuitivement tu peux te dire "quand on m'a demandé le premier choix, j'avais 1 chance sur 3 de réussir. A la deuxième étape j'ai une chance sur 2, il vaut donc mieux que je change, car la première fois c'était vraiment plus du pif". Fais un arbre aussi, étudie tous les différents trajets possibles etc...

(pour Las Vegas 21, j'étais assez sérieux en fait, il me semble que c'est expliqué !)

**Amanuensis** · 19/08/2013, 17h04

Réponse n°2 : (Et c'est là que ça se complique

.) Intuitivement, je réponds $\text{[math]}$ .

Oui

Mais quand j'essaie de monter un raisonnement de probabilité conditionnelle, ça se complique.
Je choisis les deux événement suivants : A = "Tirer la boule "3" parmis les boules de la première boîte" car c'est la probabilité recherchée et B = "Tirer la première boîte" car c'est l'événement qui s'est réalisé, et j'essaie donc de calculer $\text{[math]}$ .

Mal parti! Notons C = "Tirer un nombre impair" (parce que c'est ça la probabilité de gagner!), on demande p(C|B), et C inter B est votre A.

invite621f0bb4 · 19/08/2013, 17h06

Ps : Désolé ! Je pensais que ton événement A était "choisir la première boite" et B l'événement "tirer la boule n°3" !

PPs : mon explication intuitive n'était pas très adaptée pour le jeu TV ^^
Par contre je voudrais ajouter une précision quant à la règle de ce jeu :
On choisit une porte, puis le présentateur ouvre une porte qui n'est pas celle de la voiture et demande si on veut changer de porte".

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite3ba0dddb · 19/08/2013, 18h35

Salut,
pour le problème du monty hall

Imagine que tu as 1000 portes
Le présentateur te dit choisis en une, tu choisis, ensuite il te montre le contenu de 998 portes perdantes et te demande si tu changes

L'intuition te dis de changer car t'es quasiment sur d'avoir la mauvaise porte (1/1000)

invitebbd6c0f9 · 20/08/2013, 04h30

Merci pour toutes vos réponses!

Il me semble avoir mieux compris le raisonnement calculatoire de l'exercice

En réponse général, je reste vraiment perplexe à un tel point que je deviens fou

à propos du jeu TV.

Pour moi on a 3 cas à la même probabilité : les cas CCV, CVC, ET VCC (C=chèvre, V=voiture).

On choisit la première porte. Le présentateur nous indique la chèvre derrière la troisième. On enlève donc CCV.

Il reste donc CVC et VCC avec la même probabilité. Il serait donc logique que la proba soit de 1/2.
Mais je dois sûrement passer par des sous-entendus incorrects.

Je comprends toujours pas le principe même je crois, mon esprit est trop obstiné à penser rationnel x)

Sinon, par personne :

@Samuel9-14 :

Merci beaucoup, ta réponse m'a été très utile

Je ne vois pas pourquoi tu t'es recorrigé, je ne comprends pas si du coup tu voulais dire que ton message est faux (il ne me semble pas).
Par contre, (1/2)(la chance de prendre la première boîte) * (1/5) (la chance de tirer la boule 3) * 2 P(B) me paraît un peu bizarre.
N'a-t-on pas : $\text{[math]}$ ?
Mais alors là ce qui me paraît absurde c'est qu'on me demande de calculer la probabilité conditionnelle alors que les événements sont indépendants...
La question 3 est similaire à la 2.
Pour la question 4, c'est vrai que je trouvais ça presque trop simple, mais en accord avec les réponses de l'exercice, il se pourrait bien que ce soit ça alors

Merci pour la source de mon problème, je ne connaissais pas le film ^^.
J'ai eu beau chercher, pas moyen de trouver une explication rationnelle à mon cerveau tenace.
Si on choisit la première, le présentateur indique la chèvre derrière la 3ème, pourquoi cela impliquerait qu'il y ait plus de chance que l'on se soit trompé? Cela me paraît juste surnaturel. x)

@Amanuensis :
Merci pour la confirmation

Sinon, j'ai un gros bloquage pour votre événement C et l'expliquation que vous donnez.
Vous dites que C est la probabilité de gagner. Mais on a 1/2 de probabilité de tirer un nombre impair (parmis les 10 boules); Or, on a 3/10 de probabilité de gagner. Il me semble que ça ne colle pas.
Ensuite, sachant qu'on a tiré la première boîte, on a 3/5 de tirer un nombre impair, ce qui est à nouveau différent de 1/5, ce que vous m'avez confirmé être la bonne réponse. Je dois mal comprendre. Donc, $\text{[math]}$ pour moi, et $\text{[math]}$ car les événements sont indépendants (comme dans la version de Samuel9-14), mais je ne vois pas comment tirer la première boîte et un nombre impair revient à tirer la boule "3"... puisque les boules 1 et 5 sont des nombres impairs et sont dans la première boîte.
Bref, petit souci d'incompréhension.

@lawliet yagami :

Merci de me donner d'autres exemples plus remarquables!
Mais... Hélàs! Je ne vois toujours pas (j'en suis sincèrement navré) pourquoi on a plus de chance si on change...
Si le présentateur nous ouvre les 998 portes perdantes, cela veut donc dire que la bonne est soit celle que j'ai choisi, soit la dernière. Mais pourquoi changer, WHY? Je... Je ne sais plus comment argumenter tellement plus je réfléchis, plus je m'obstine dans le fait que la proba est équitable.

Re-@all :

Finalement, je recherche surtout le fait de comprendre le principe fondamental des probas conditionnelles.
Désolé d'être aussi "tête brûlée" mais si quelqu'un arrive à me convaincre par des propos intuitifs, je lui en serai très reconnaissant!

Merci encore pour le temps pris

Cordialement

**Amanuensis** · 20/08/2013, 06h04

Envoyé par The_Anonymous

Sinon, j'ai un gros bloquage pour votre événement C et l'expliquation que vous donnez.
Vous dites que C est la probabilité de gagner. Mais on a 1/2 de probabilité de tirer un nombre impair

Je me suis juste trompé entre "pair" et "multiple de trois". Lire C = "tirage d'un multiple de 3".

[Et vous devriez d'abord faire l'exercice correctement, et comprendre la méthode, avant d'aborder le jeu TV. Mettre les deux sujets dans une même discussion n'est pas malin, car un nombre important d'intervenants vont se jeter sur le seconde point, rendant peu lisible la suite des échanges sur l'exercice.]

invite621f0bb4 · 20/08/2013, 08h31

En fait mon calcul était correct mais j'avais mal nommé mes événements. En outre ce n'est pas *2*P(B) mais juste *2. Et entre parenthèses j'avais précisé que ça correspondait au 1/2 du dénominateur que j'ai repassé au-dessus.

**Amanuensis** · 20/08/2013, 08h45

eetaoin shrdlu

invite621f0bb4 · 20/08/2013, 09h03

Pour Monty Hall :

Tu choisis une porte, n'importe laquelle. Le présentateur t'en ouvre une, n'importe laquelle parmis les deux restantes. Derrière, il y a une chèvre. Il reste alors deux portes, dont une que tu as sélectionnée. Tu as donc une chance sur trois d'avoir pris la bonne. On imagine que tu changes : et alors si tu avais pris la bonne, tu perds (donc on est d'accord : 1 chance sur 3 de perdre en changeant). Ou alors tu avais pris la mauvaise (2 chances sur 3 je le rappelle, de prendre la mauvaise) et dans ce cas là, en changeant, tu gagnes !
Tu as bien 1/3 de perdre et 2/3 de gagner en changeant.

Si tu n'es pas convaincu, on se la fait en ne changeant pas.
Tu as toujours une chance sur 3 d'avoir pris la bonne.
Tu ne changes pas (tu as la bonne) : rien ne bouge, tu as toujours 1/3 de gagner.
Et donc 2 chances sur trois de perdre.

invitebbd6c0f9 · 20/08/2013, 18h04

Merci encore pour les réponses!

Je suis peut-être encore trop bayésien, mais je pense maintenant avoir compris enfin (après quelques heures de lecture de l'article "Problème de Monty Hall" x) ) pourquoi on a 1/3-2/3.

Et merci à Amanuensis, si on prenait mes événements A et B, cela n'avait pas de sens de passer par des probas conditionnelles, mais avec votre C, oui!

J'ai pu compléter mon exo et comprendre (presque) le problème de Monty Hall

Merci encore

Probabilités conditionnelles