Petite démonstration trigonométrique

[invite621f0bb4]

Bonjour à tous !
J'avais profité du post de juni78 pour aller jeter un oeil sur cette page : http://www.hexomaths.fr/fichiers/equ...OSCORRIGES.pdf

Je me suis intéressé à l'exercice 2 car j'avais déjà essayé de démontrer cette relation (question 2). Et je ne m'y étais pas pris comme ça, j'aimerais donc savoir si mon raisonnement était juste.
Voilà comment j'avais procédé :
On sait que :
2cos(A)cos(B) = cos (A+B) + cos (A-B)(*)
En posant A=(p+q)/2 et B=(p-q)/2, on a :
2cos((p+q/2))cos((p-q)/2)=cos((p+q+p-q)/2)+cos((p+q-p+q)/2
Ce qui donne directement :
2cos((p+q/2))cos((p-q)/2)=cos(p)+cos(q)

Mon raisonnement est-il correct ?

(*)D'ailleurs, comment démontrer la relation : cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) ?
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[albanxiii]

Bonjour,

Le raisonnement est correct, et de mémoire (à vos risques et périls, donc !), le résultat aussi.

Pour , si vous êtes "grand" et que vous voulez juste un moyen rapide et efficace pour retrouver la formule, vous pouvez utiliser les exponentielles complexes : et on remplace les exponentielles par , on développe et on garde la partie réelle.

Sinon, à un niveau plus "naïf" ou plus fondamental, c'est selon, sans exponentielles complexes, il existe d'autres démonstrations, entre autre en passant par des produits scalaires (comme c'est un peu long à taper, voici : http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?2,148402 en particulier ce message là ;
: http://www.les-mathematiques.net/pho...561#msg-148561 ).

@+

[invite51d17075]

(*)D'ailleurs, comment démontrer la relation : cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) ?

bonjour,
quelle soit la formule,
pour un triangle rectangle , les formules élémentaires tombent toutes seules, pour les deux autres angles
ensuite , on généralise comme on veut avec identité triogonométriques type cos(pi/2-a)=sin(pi/2) , cos(pi-a)=cos(a) , etc ...

[invite7c2548ec]

Bonjour

Bonjour à tous !


(*)D'ailleurs, comment démontrer la relation : cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) ?

Je ne sais pas si ça vous intérresse ceux si cos somme des deux angles
Edit:croisement ansset
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621f0bb4]

Merci pour vos réponses !

@albanxiii :
Pour la mémorisation je pense que ça ira, néanmoins le cours de trigo que j'avais recommandait aussi d'utiliser les exponentielles complexes pour s'en souvenir rapidement !
Sinon merci pour le lien, je vais lire ça !

EDIT : ha non mais en fait ce moyen mnémotechnique est aussi une démonstration ^^

@ansset : je ne visualise pas trop la phrase "pour un triangle rectangle , les formules élémentaires tombent toutes seules"...
je ne vois pas comment on peut passer facilement du triangle rectangle à la relation cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b).


Edit : croisement avec topmath
donc @topmath : merci pour la vidéo ! ce qui me gêne, c'est qu'il utilise justement une des relations à démontrer...