Système paramétré.

[Lucien-O.]

Bonsoir!

J'ai passé une bonne partie de mon après midi à tenter de résoudre un système paramétré (un second essai après un premier système relativement facile,...) et je n'ai ni correctif ni correcteur qui puisse me confirmer que mon travail est juste (je pense qu'il l'est,...). Si quelqu'un de courageux pouvait me corriger, je lui en saurai le meilleur gré du monde .

J'utilise pour résoudre ce système un théorème dont je ne connais pas le nom (ni la démonstration, je viens seulement de m'introduire aux matrices,...) qui dit en substance : Dans un système rectangulaire, on peut combiner en une matrice unique (de type m,n+1) la matrice des coefficients (de type m,n) et la matrice des termes indépendants(de type m,1). On compare ensuite le rang de la matrice des coefficients avec la matrice "composée"; si le rang est égal alors le système admet une solution unique.

D'avance un grand merci à ceux qui liront!

Voici l'exo :


On a le système :

Avec la matrice des coefficients et la matrice des termes indépendants.

D'où

Soit le déterminant

On a donc :


On observe que :
1.


Si alors sont les racines de et l'on doit envisager plusieurs cas:

1. :

1.1
1.2
1.3



2.:

2.1
2.2



3. :

3.1
3.2
3.3


Si alors la racine de est .

On sait également que, dans tous les cas où , s'annule en .
On peut donc envisager les cas suivants où, sous réserve que la matrice des coefficients soit de rang , le système admet une solution unique :

1. et
2. et
3. et ou , dans ce cas .
4. et alors .

En outre, nous devons avoir ce qui impose ou . ( ne vaut jamais 1)

Si l'une de ces deux conditions est respectée et si l'on se trouve dans l'un des 4 cas pour lesquels le système admet une solution unique alors : .
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[Médiat]

Bonsoir,

Je ne comprends pas votre méthode, et en tout état de cause, ce problème est assez simple, en prenant les 2 premières équations :


Vous avez une première discussion sur m = 1 (puis une discussion sur k, puis, éventuellement sur n), ou m != 1 (puis une discussion sur n)

[invited3a27037]

bonsoir

Ta méthode me fait penser à la Règle de Cramer http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_Cramer pour la résolution des système n par n. Dans ton cas il faudrait considérer qu'il y a 3 inconnues (x,y) et aussi z (les z étant multipliés par 0 dans les 3 équations ...). Mais je me trompe peut-être complétement.

Sinon je pense comme Médiat qu'on doit s'en sortir en étudiant si les 2 premières équations fournissent une solution ou pas. Si c'est oui, alors on regarde si les solutions trouvées sont aussi solutions de l'équation 3 ou pas.

Essayons:

(1) x + y = m
(2) x + m.y = k

### si m /= 1

il y a une unique solution au système (1)(2): x = m-(k-m)/(m-1) et y = (k-m)/(m-1)

puis on s'assure que cette solution est aussi solution de (3):

(3) nx+2y=2

ce qui va donner une relation entre les paramètres n, m, k. Si cette relation est satisfaite, alors la solution est correcte, sinon le système (1)(2)(3) est sans solution

### si m = 1

(1) x + y = 1
(2) x + y = k

si k/= 1, alors il n'y a pas de solution au système (1)(2) et donc pas de solution non plus au système (1)(2)(3)

si k=1 alors le système (1)(2)(3) devient:

(2) x + y = 1
(3) nx+2y=2

si n = 2, il y a une infinité de solution, les couples (x, y) tels que x + y = 1

si n/=2 il y a une unique solution (x, y) = (0, 1)

C'est à vérifier en détail

[Médiat]

Bonjour,

Ce n'est pas dans l'esprit de ce forum que de faire les exercices des autres, donner des pistes est largement suffisant, et là vous ne rendez pas service à Lucien-O

Médiat, pour la modération

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

Vu le travail fournit par Lucien pour rédiger son post, je me suis dit que ça valait bien de ma part une rédaction à peu près complète d'une autre solution, plus simple que la sienne.
Ce n'est pas comparable avec ceux qui balancent un énoncé et qui mettent "URGENT c'est pour demain" et c'est tout

[Lucien-O.]

Ah, merci! Je suis preneur pour une résolution plus simple et plus claire!

En revanche, n'est-il pas possible (bien que ce soit plus "lourd") de résoudre le système uniquement à partir de l'expression de m,n et k ?

Finalement, les deux méthodes ne diffèrent que par l'amorce, on abouti à la même expression de m,n et k et je me suis contenté de travailler sur cette expression (avec quelques erreurs - notamment sur le rang de Ab qui vaut 1 si n=2, k=1 et m=1- et oublis - n/=2 et m=1,k=1.).

Bonne soirée!