Suite arithmético-géométrique

[invitef2a5c62f]

Bonjour, je suis un peu bloqué sur un exercice sur les suites, je viens de découvrir ce cours et j'essaie de faire quelques exercices supplémentaires, mais celui-ci me bloque un peu. Voici l'énoncé:
On considère la suite (Un) définie sur "Grand N" ( entier naturel ) par:
U0=8 et U(n+1)= (2/5)Un +3
Le but de l'exercice est de démontrer que, pour tout entier naturel n:
Un= 3 (2/5)^n +5
En fait, je pense qu'il faut d'abord écrire une expression de (Un) en s'aidant de (Un+1) et après, par récurrence, remplacer (Un) par ce qu'on a trouver, et ensuite, en développant, on trouverai ce qu'on a à démontrer. Mais le seule problème c'est que je n'arrive pas à faire ma première étape, c'est à dire à écrire (Un).
Merci d'avance pour votre aide.
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[pallas]

poses simplement v(n+1)= u(n+1) -5
Etudies la nature de la suite v(n) et tout va

[PlaneteF]

Bonsoir,

En complément du message précédent de pallas :

http://forums.futura-sciences.com/ma...terminale.html Cf. message #6


Cordialement

[PlaneteF]

A noter que la technique donnée par pallas (et qu'il faut connaitre car c'est un "standard") permet de trouver l'expression de U_n lorsque l'énoncé ne le donne pas.

Mais ici l'énoncé donne cette expression, et donc une simple récurrence, très facile et immédiate ici, permet de démontrer ce qui est demandé.

Cordialement

N.B. : Je t'invite à faire les 2 méthodes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4e87ed1d]

Bonsoir
Je ne parviens pas à démontrer l'hérédité
Voici ce que je fais :
Dans l'expression de Un+1= (2/5)Un + 3, je remplace Un par sa valeur à savoir 3(2/5)^n + 5 et j'obtiens Un+1 = 6/5 (2/5)^n + 5 qui n'est pas l'expression que j'espérais pour Un à savoir 3(2/5)^n + 5
Où est l'erreur ?
Merci d'avance pour vos réponses

[gg0]

Heu ... comme c'est pour n+1, tu attends 3(2/5)^(n+1) + 5 et c'est bien ce que tu obtiens.

Cordialement.

[invite4e87ed1d]

Non !
Pour Un+1 j'obtiens 6/5 (2/5)^n + 5 et non pas 3 ( 2/5 )^n+1 + 5 !

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

C'est bien la même chose pourtant

 Cliquez pour afficher

(2/5)ⁿ⁺¹ = 2/5*(2/5)ⁿ
Vois-tu mieux ainsi ?

Duke.

[gg0]

C'est sûr que si la réponse est 2 et qu'on obtient 1+1, ça pose problème !!

[invite4e87ed1d]

A l'attention de Duke
Merci pour ton message perso, effectivement tu as raison mais j'ai encore un doute ...
Avec ma calculatrice, en prenant n=6, par exemple, quand je calcule 3(2/5)^6 + 5 j'obtiens 5,012288,et quand je calcule 6/5 (2/5)^6 + 5 j'obtiens 5,0049152, alors ?
Je pensais bêtement que les mathématiques étaient une science exacte ....
C'est vrai ou c'est faux ?

[Resartus]

La comparaison doit être avec 3.(2/5)^7 (et pas ^6). Attention à bien vérifier toutes les formules avant de les introduire dans la calculatrice. Elle ne résoudra pas toute seule les bêtises qu'on lui rentre...

Il faut bien maitriser les manipulations avec des puissances. On a ;
x.x^n=x^(n+1), ou plus généralement x^a.x^b=x^(a+b)

[invite4e87ed1d]

OK, cette fois, je suis d'accord ....

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Avec ma calculatrice, en prenant n=6, par exemple, quand je calcule 3(2/5)^6 + 5 j'obtiens 5,012288,et quand je calcule 6/5 (2/5)^6 + 5 j'obtiens 5,0049152, alors ?

Alors !?... Tu ne sais pas utiliser convenablement la calculatrice...
Les élèves sont systématiquement convaincus que la calculatrice donne la "bonne" réponse sans se remettre en cause. La calculatrice sait faire, le plus souvent c'est l'utilisateur qui a un souci : soit il ne tape pas les bons caractères, soit il oublie les règles de base sur les opérations et donc les parenthèses qui sont associées, ...

Je pensais bêtement que les mathématiques étaient une science exacte ....
C'est vrai ou c'est faux ?

De la à remettre en cause un pilier à cause d'un calcul erroné parce que l'application des règles de base n'est pas maîtrisée... c'est plutôt gênant. Je te laisse cogiter sur ce point

Cordialement,
Duke.