Dérivée - Minimum

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir

Je ne vous embêterai plus avec mes probabilités!

Par contre, j'ai une affirmation à prouver s'il est vraie ou contredire s'il est fausse à propos des dérivées que je n'arrive pas à comprendre.

L'affirmation est la suivante :

" Si est une fonction dérivable qui atteint son minimum en un point , alors la dérivée en ce point est toujours nulle. "

J'ai pris pas mal d'exemples, et il me semble bien que cette affirmation est vraie, pour autant effectivement que la fonction soit dérivable (on exclut les fonctions genre , etc...).

Par exemple, j'ai pris comme exemple (qui est bien cadré) la fonction .

Comme on voit que le minimum est ( ), alors on calcule .

Un aperçu sur google ici (ou sur Wolfram Alpha ici ).

Mais maintenant, il s'agit de prouver (en considérant donc que l'affirmation est vraie!).

Comme on s'intéresse à la dérivée au point , on calcule donc :

.

Et si l'affirmation est vraie, alors on devrait trouver .

Mais je n'ai pas trop d'idée pour savoir comment calculer cette limite où l'on ne connait visiblement aucun des deux inconnues (on sait juste que , m'fin bon...), je ne vois pas en quoi le fait que soit le minimum de la fonction nous permet de calculer cette limite.

Merci d'avance pour tous vos conseils, que ce soit pour me dire que mon affirmation est en fait fausse ou pour m'aider à trouver la limite

Cordialement
-----

[inviteaf48d29f]

" Si est une fonction dérivable qui atteint son minimum en un point , alors la dérivée en ce point est toujours nulle. "

Énonce comme ça c'est faux, mais vous n'êtes pas loin d'une propriété vraie ^^.

La fonction f : [0,1] ⟶ ℝ ; x ⟼ x atteint son minimum 0 en 0 et f'(0) = 1

Pour que le théorème soit vrai il faut demander que le minimum soit atteint dans un point intérieur de l'intervalle, pas aux bords. Par contre la propriété " Si est une fonction dérivable qui atteint son minimum en un point 0 < u < 1, alors la dérivée en ce point est toujours nulle. " est belle et bien un théorème.

Pour le démontrer vous pouvez essayer de considérer les variations de f autour du point u (peut-être faire un tableau de variation). Avant u f est décroissante, après u elle est croissante. Qu'est-ce que ça veut dire pour sa dérivée ?

[invitebbd6c0f9]

Merci beaucoup !

Effectivement, je comprends que si u peut être égal à 0 ou à 1, ça ne marche pas, on a besoin d'avoir des points différents de u plus grands et plus petits que u dans l'intervalle [0;1].

Donc, on prend 0<u<1.

Donc je regarde les variations : on a que f est décroissante avant u, vaut une certaine valeur pour u ( f(min(f)) ), et ensuite est croissante pour des valeurs plus grandes que u (comme vous me l'avez indiqué ).

Donc, pour des dérivées, on obtient :

f est décroissante pour des valeurs inférieures à u <=> et
f est croissante pour des valeurs supérieurs à u <=> .

Donc, on en déduit que .

C'est ce à quoi vous pensiez?

Merci de votre aide en tous cas

Cordialement

[Seirios]

Bonsoir,

À première vue, je dirais qu'il faudrait supposer f' continue pour pouvoir dire que f est décroissante à gauche de u puis croissante à droite (à moins que tu aies un argument ?). Quoiqu'il en soit, tu peux raisonner sur les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement pour montrer que f'(v) est à la fois positif et négatif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf48d29f]

Ouhla, vous allez un peu vite en besogne là. L'idée est la bonne mais ce que vous énoncé est faux.

Premièrement une variable se déclare avant de l'utiliser, pas après. Le quantificateur se met à gauche de la propriété quantifiée. Ce que vous vouliez écrire c'est je sais que beaucoup d'élèves et même de profs font cet abus. Ils ont tort, ne le faites pas. Ça conduit à des erreurs et vous ne maîtrisez largement pas assez bien la notion pour pouvoir vous permettre un abus de langage aussi dangereux.

De plus la propriété n'est pas forcément vraie. Vous ne savez pas si votre fonction est décroissante depuis 0. Elle a très bien pu être croissante entre 0 et 1/2 et quand même atteindre son minimum en 2/3.
Ce qui est vraie c'est que la fonction est décroissante avant u quand on est suffisamment proche de u (vu que ça ne semble pas très clair, ce serait bien que vous le démontriez ça).

[inviteaf48d29f]

En me relisant je me rend compte que j'ai fait la même erreur qu'Anonymous. Il n'y a aucune raison pour que f soit décroissante avant u, même si on est près de u. Il faut en effet utiliser la définition du minimum et étudier les taux d'accroissement (f(x)-f(a))/(x-a) quand x est avant ou après u.

Pour m'amender je vais construire un contre exemple ^^.

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir,

À première vue, je dirais qu'il faudrait supposer f' continue pour pouvoir dire que f est décroissante à gauche de u puis croissante à droite (à moins que tu aies un argument ?). Quoiqu'il en soit, tu peux raisonner sur les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement pour montrer que f'(v) est à la fois positif et négatif.

Bonsoir,

Eh bien non x) je n'ai pas vraiment d'argument pour affirmer la continuité de f' (je peux le suggérer dans mon exercice ).


Par contre, je n'ai pas encore vu les taux d'acroissements, donc... euh...

Ouhla, vous allez un peu vite en besogne là. L'idée est la bonne mais ce que vous énoncé est faux.

Premièrement une variable se déclare avant de l'utiliser, pas après. Le quantificateur se met à gauche de la propriété quantifiée. Ce que vous vouliez écrire c'est je sais que beaucoup d'élèves et même de profs font cet abus. Ils ont tort, ne le faites pas. Ça conduit à des erreurs et vous ne maîtrisez largement pas assez bien la notion pour pouvoir vous permettre un abus de langage aussi dangereux.

De plus la propriété n'est pas forcément vraie. Vous ne savez pas si votre fonction est décroissante depuis 0. Elle a très bien pu être croissante entre 0 et 1/2 et quand même atteindre son minimum en 2/3.
Ce qui est vraie c'est que la fonction est décroissante avant u quand on est suffisamment proche de u (vu que ça ne semble pas très clair, ce serait bien que vous le démontriez ça).

Ah d'accord

Je ferai attention à la notation

Pour la suite, je vois ce que vous voulez dire... La fonction n'est pas forcément tout le temps décroissante avant u et tout le temps croissante après u, on peut encore avoir des variations...

Pour tout vous dire, je me suis inspiré de wikipedia , premier point du théorème.

Mais du coup, comme la fonction peut par exemple être croissante avant u, cela ne marche pas à moins de prendre assez proche de u (quand x tend vers u, ai-je deviné).

Donc je pense que je pourrais plutôt résumer la situation en :

, par des valeurs négatives et
, par des valeurs positives.

Je ne sais pas si cela est suffisant (peut-être qu'il faut plus expliquer comment on arrive à 0, mais alors dans ce cas je ne sais pas comment).

Merci encore de vos conseils

Cordialement

[invitebbd6c0f9]

En me relisant je me rend compte que j'ai fait la même erreur qu'Anonymous. Il n'y a aucune raison pour que f soit décroissante avant u, même si on est près de u. Il faut en effet utiliser la définition du minimum et étudier les taux d'accroissement (f(x)-f(a))/(x-a) quand x est avant ou après u.

Pour m'amender je vais construire un contre exemple ^^.

Autant pour moi xD

Je vais me renseigner sur les taux d'acroissement alors

Edit : ah ok j'ai compris, on a juste pas appelé ça sous ce nom-là ^^

En gros, on doit démontrer , non?

[invited3a27037]

bonsoir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...%A8me_de_Rolle

Si on suppose que la fonction atteint un maximum en u

On montre facilement que la dérivée en u à droite est negative ou nulle et que la dérivée à gauche en u est positive ou nulle. Comme par hypothèse la fonction est dérivable, la dérivée est forcément 0.

[invited3a27037]

J'ai des doutes finalement, pourtant c'est la démo du sur wikipedia.

J'ai des doutes car on peut imaginer des fonctions qui oscillent infiniment autour de u et il n'y a donc pas d'intervalle ou la fonction reste croissante à droite et décroissante à gauche.

[inviteaf48d29f]

Bien sûr que vous savez ce qu'est un taux d'accroissement. Vous savez ce que c'est qu'une fonction dérivée.

Le nombre dérivée en un point c'est la limite du taux d'accroissement. , le taux d'accroissement c'est simplement la quantité

Eh bien non x) je n'ai pas vraiment d'argument pour affirmer la continuité de f' (je peux le suggérer dans mon exercice ).

Vous n'avez pas vraiment intérêt de faire ça parce que c'est horriblement faux. La dérivée d'une fonction n'a aucune raison d'être continue elle-même (en revanche le théorème de Darboux affirme qu'elle vérifie quand même la propriété des valeurs intermédiaires).
Et même supposer que f' est continue (c'est à dire se placer dans un cas particulier de l'énoncé) ne suffirait pas à rendre mon raisonnement viable. Ce qui va être aussi prouvé à l'aide de mon contre exemple que voici :

Je prend

Elle se prolonge par continuité en 1/2 en une fonction dérivable (de dérivée continue) et elle atteint son minimum 0 en ce point. Pourtant même lorsqu'on s'approche de 1/2 par la gauche il n'y a pas de moment à partir duquel on est décroissant. La fonction oscille de plus en plus lorsque on s'approche de 1/2, on peut calculer sa dérivée pour se rendre compte que le signe de celle-ci alterne d'autant plus vite qu'on s'approche de 1/2.

[invitebbd6c0f9]

bonsoir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...%A8me_de_Rolle

Si on suppose que la fonction atteint un maximum en u

On montre facilement que la dérivée en u à droite est negative ou nulle et que la dérivée à gauche en u est positive ou nulle. Comme par hypothèse la fonction est dérivable, la dérivée est forcément 0.

Bonsoir

Dans notre cas, c'est un minimum, m'enfin, ça ne change rien, merci pour votre réponse

En gros, si j'ai bien compris, vous dites qu'on voit que

.

C'est bien juste?

Cordialement

[invitebbd6c0f9]

Bon je retire ce que j'ai dit alors x)

Donc, si je vous ai bien compris, après recorrection, il faut simplement calculer , et démontrer que .

Mais comment faire

Merci d'avance !

[invited3a27037]

je pensais à

et le contraire à droite

Mais, c'est une démo fausse ...



Ensuite une remarque, mieux vaut éviter les limites de la dérivé car les dérivées ne sont pas forcément continues.

Je te donne un exemple tordu

prolongée par continuité en 0 avec f(0)=0

f'(0) existe et vaut 0

mais n'existe pas

[inviteaf48d29f]

Bon je retire ce que j'ai dit alors x)

Donc, si je vous ai bien compris, après recorrection, il faut simplement calculer , et démontrer que .

Mais comment faire

Merci d'avance !

Je reformule "il faut simplement calculer la limite de lorsque x tends vers u, et démontrer qu'elle vaut 0".

Vous avez la mauvaise habitude d'utiliser l'opérateur lim comme une abréviation, de même que pour les quantificateurs, cette abréviation va vous jouer des tours. Vous ne pouvez écrire lim d'une quantité que si vous savez (et avez déjà démontré) que cette quantité converge.
Honnêtement il vaut mieux réserver cet opérateur pour écrire une conclusion à un raisonnement mais ne jamais s'en servir au milieu d'un calcul. Si vous avez une suite d'égalité avec des "lim" au début de chaque ligne vous savez que vous vous y prenez mal, ça ne peut aider qu'à vous embrouiller, ces même lignes de calculs pourraient en général aussi bien être écrites en écrivant l'égalité des quantités et non de leurs limites. Travaillez avec la quantité, montrez qu'elle converge, trouvez sa limite et une fois que vous avez fait tout ça vous pouvez écrire "Donc lim truc =..."

[Seirios]

je pensais à

et le contraire à droite

Mais, c'est une démo fausse ...

Pourquoi cela ? C'est une méthode qui marche très bien.

[invited3a27037]

Oui Serios, c'est correct

J'avais un doute en 0 pour les fonctions oscillantes comme prolongées par continuité en 0 par f(0) = 0. Ces fonctions sont dérivables y compris en 0 et f'(0)=0

Pour la 1ere il n'y a pas d'extrémum en 0 donc la question ne se pose pas et pour la deuxième il y a bien un minimum (pas isolé) en 0 et le taux d'accroissement est bien positif ou nul à droite et negatif ou nul à gauche

[invitebbd6c0f9]

Bonjour! (Et vraiment désolé de ne pas avoir répondu plus tôt...)

Je reformule "il faut simplement calculer la limite de lorsque x tends vers u, et démontrer qu'elle vaut 0".

Vous avez la mauvaise habitude d'utiliser l'opérateur lim comme une abréviation, de même que pour les quantificateurs, cette abréviation va vous jouer des tours. Vous ne pouvez écrire lim d'une quantité que si vous savez (et avez déjà démontré) que cette quantité converge.
Honnêtement il vaut mieux réserver cet opérateur pour écrire une conclusion à un raisonnement mais ne jamais s'en servir au milieu d'un calcul. Si vous avez une suite d'égalité avec des "lim" au début de chaque ligne vous savez que vous vous y prenez mal, ça ne peut aider qu'à vous embrouiller, ces même lignes de calculs pourraient en général aussi bien être écrites en écrivant l'égalité des quantités et non de leurs limites. Travaillez avec la quantité, montrez qu'elle converge, trouvez sa limite et une fois que vous avez fait tout ça vous pouvez écrire "Donc lim truc =..."

D'accord

J'ai tendance à oublier que j'utilise cette notation abusive, mais il faut dire que dans mon cours on a fait toutes les preuves (mutliplication de dérivées, addition, inverse, etc...) sans jamais commencer par "La limite quand x tend vers a" pour ensuite calculer et finir avec le préfixe ... Et même dans le chapitre des limites, on a toujours mis le à chaque égalité.. Alors j'essaierai de faire attention, mais je ne comprends pas pourquoi on ne nous a pas prévenu de cette abus de notation.

je pensais à

et le contraire à droite

Mais, c'est une démo fausse ...



Ensuite une remarque, mieux vaut éviter les limites de la dérivé car les dérivées ne sont pas forcément continues.

Je te donne un exemple tordu

prolongée par continuité en 0 avec f(0)=0

f'(0) existe et vaut 0

mais n'existe pas

Pourquoi cela ? C'est une méthode qui marche très bien.

Oui Serios, c'est correct

J'avais un doute en 0 pour les fonctions oscillantes comme prolongées par continuité en 0 par f(0) = 0. Ces fonctions sont dérivables y compris en 0 et f'(0)=0

Pour la 1ere il n'y a pas d'extrémum en 0 donc la question ne se pose pas et pour la deuxième il y a bien un minimum (pas isolé) en 0 et le taux d'accroissement est bien positif ou nul à droite et negatif ou nul à gauche

Si j'ai bien compris, on peut donc montrer que la limite de lorsque x tends vers u par la gauche, et la limite de lorsque x tends vers u par la droite, ou bien directement montrer que la limite de vaut 0 quand x tend vers u.

Mais alors comment faire? À part dire que "comme c'est le minimum, cela vaut 0", je ne sais pas trop comment justifier
Je vois schématiquement la situation, mais pour l'expliquer... J'ai plus de peine.

Merci de toutes vos réponses

Cordialement

[Seirios]

Que peux-tu dire du signe de lorsque puis lorsque ?

[invitebbd6c0f9]

Quand , on a , donc le dénominateur est positif, et , car est le minimum de la fonction et est du coup forcément supérieur.

Donc, quand , , car le dénominateur et le numérateur sont positifs mais peuvent être égaux.

Quand , on a , donc le dénominateur est négatif, et , car est le minimum de la fonction et est du coup forcément supérieur.

Donc, quand , , car le dénominateur est strictement négatif mais le numérateur positif.

J'espère que c'est ce que vous vouliez que je remarque...

La seule chose qui me parait bizarre, c'est l'inégalité stricte entre x et u : du coup, la fraction ne peut pas être égal entre les deux cas, puisqu'une fois elle est positive, et une fois strictement négative.

Ne serait-il pas mieux de regarder et ?

Et après cela, peut-on conclure que quand et quand quand x tend vers u?

Merci de votre aide!

Cordialement

[Seirios]

Pour écrire il vaut mieux avoir , donc les inégalités doivent être strictes ! Sinon, tu as plutôt dans les deux cas (à moins que l'on parle de croissance stricte).

Sinon, pour conclure, il suffit de déduire les signes de et (sachant que ).

[invitebbd6c0f9]

Pour écrire il vaut mieux avoir , donc les inégalités doivent être strictes ! Sinon, tu as plutôt dans les deux cas (à moins que l'on parle de croissance stricte).

Sinon, pour conclure, il suffit de déduire les signes de et (sachant que ).

Évidemment que les inégalités doivent être strictes, suis-je bête

Alors, est-ce qu'un raisonnement comme celui est correct?

quand ;

quand (cette fois j'écris parce que comme vous me l'avez justement fait remarquer, on a et non pas ).

Et finalement, et , donc :

.

CQFD

Merci de votre confirmation

Cordialement

[Seirios]

Juste pour être sûr, comment justifies-tu l'implication suivante ?

Et finalement, et

.

L'écriture est plutôt maladroite, même si on comprend bien ce que tu veux dire ; naturellement, on l'interprèterait comme le minimum de l'ensemble plutôt que comme le point où est minimale.

[invitebbd6c0f9]

Juste pour être sûr, comment justifies-tu l'implication suivante ?



L'écriture est plutôt maladroite, même si on comprend bien ce que tu veux dire ; naturellement, on l'interprèterait comme le minimum de l'ensemble plutôt que comme le point où est minimale.

1) En utilisant la propriété que vous aveu indiqué, à savoir , on doit avoir .

2) D'accord, je notifierai seulement le alors, je vois pourquoi ma notation est maladroite.

Cordialement

Édit : La justification de 1) est un peu bizarre aussi, je comprends pourquoi (plus petit ou égal 0) inter (plus grand ou égal 0) = 0, mais je ne sais pas comment le marquer...

[Seirios]

Édit : La justification de 1) est un peu bizarre aussi, je comprends pourquoi (plus petit ou égal 0) inter (plus grand ou égal 0) = 0, mais je ne sais pas comment le marquer...

Dire que et (grâce à l'égalité en question) implique est suffisant. Un nombre non nul est soit strictement positif soit strictement négatif.

[invitebbd6c0f9]

Merci beaucoup pour votre aide ! (Seirios mais aussi S321 et joel_5632!)

J'ai pu compléter correctement mon exercice, et je vous en remercie

Cordialement