Quatre villes sont situées aux quatre sommets d'un carré de côté 150km. On se propose de les relier par un réseau d'autoroutes de longueur totale minimal. Pour simplifier les calculs ont peu convenir que le côté du carré est égal à 1. A,B,C et D sont les quatre sommets du carré, E et F sont les points des jonctions d'autoroutes.
Partie A:
On désigne par une mesure en radians de l'angle ABE et par f(alpha) la longueur totale du réseau.
1. Démontrer que EF=1-tan(alpha) et exprimer EB en fonction de . En déduire que f(alpha)= 1 + (2-sin(alpha))/cos(alpha) avec 0≤ ≤ Pi/4
2.a.Exprimer f'(alpha) en fonction de alpha .
b.En déduire que la fonction f admet un minimum en Pi/6
c. Calculer la longueur totale minimale du réseau
Partie B:
On appelle x la distance BE et g(x) la longueur totale du réseau.
1.Justifier que x appartient à l'intervalle I= [1/2; √(2)/2]
2.Démontrer que pour tout réel x appartenant à I:
g(x)=4x+1-2 √(x²-1/4)
3.a.Déterminer l'expression de g'(x) en fonction de x
b. Résoudre dans l'inéquation g'(x)≤ 0
c. En déduire les variations de g sur I et conclure.
Nota: Partie A question 1: tan(alpha)= sin(alpha)/cos(alpha)
Partie B question 3.b.: On montrera que, sur ]1/2;√(2)/2] l'inéquation g'(x)0 est équivalente à 3x²-1≤ 0.
Voilà pour l'énoncé. J'ai déjà résolu la question 1.
Pour la question 2.a., j'ai trouvé f'(alpha)= (-cos²(alpha)-sin²(alpha)+2sin(alpha))/ cos²(alpha).
Mais je bloque pour la question 2.b., je ne sais plus comment démontrer que f admet un minimum, ici en Pi/6.
Merci de votre aide
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