Bonjour tout le monde
Avec mes exercices habituels, j'ai encore deux-trois questions, qui suivent ci-dessous :
Question 1:
"Si une fonction admet un point où la dérivée n'existe pas, alors ce point est un extremum local."
C'est une affirmation dont il faut dire si elle est vraie ou fausse.
J'ai pris les exemples que je connais des fonctions non dérivables en certain(s) point(s), comme, en 0, ou
en 0 (compliqué mais on a étudié cette fonction dans un exercice).
Et à chaque fois l'affirmation marche.
Cela me laisse penser que l'affirmation est vraie, mais alors il faut la démontrer. Sauf que je n'ai aucune idée de ce qu'on peut tirer de "n'existe pas".
Il faudrait arriver à "", en utilisant une certaine proposition qui nous dit que si
admet un extremum local en
, alors
.
Mais alors comment prouvern'existe pas
?
Question 2:
"Si une fonction dérivable est croissante pouret décroissante pour
, alors
".
Il faut à nouveau dire si l'affirmation est vraie ou fausse.
Encore une fois, en prenant des exemples comme, je n'ai que pu remarquer que la propriété supposée était vraie, mais je bloque à la démonstration.
J'ai essayé par une méthode, mais je ne suis pas sûr, je pensais qu'il fallait utiliser Rolle ou les accroissements finis... Enfin, voici ma méthode :
Je pose f(0)=a. Comme la fonction est croissante pour, alors
pour
.
Comme la fonction est décroissante pour, alors
.
Donc,est un extremum (maximum ici) général (donc local), et en utilisant la même proposition que dans la question 1, j'obtiens que
.
Je vous remercie d'avance de me redire mes erreurs, ou de me conseiller sur une autre méthode.
Question 3:
Cette question est en deux parties : premièrement, une démonstration dont je vois le bout mais je n'arrive pas au bon résultat; deuxièmement, un paradoxe avec une autre démonstration qui se contredisent.
J'ai déjà montré queétait strictement décroissante sur
. J'ai ensuite montré que si
, alors
(simple, utiliser la propriété que la fonction est décroissante).
Mais ensuite, on me demande, pour les mêmes conditions deet de
, de prouver que
.
Il a une indication qui est de prouver d'abord que, et utiliser le fait que
.
J'ai alors procéder comme ceci :
Comme, alors
(J'arrive au résultat demandé de l'indication).
(Je mutliplie par
des deux côtés)
(J'organise).
(J'utilise
), et là c'est le fail
Je ne peux pas remplacer lepar un
, car
.
Mais alors comment arriver au résultat? Merci d'avance
Ensuite, mon paradoxe, c'est que sicomme on devrait démontrer, alors
, ce qui contredit le fait que
, ce que j'ai démontré juste avant! Je bloque vraiment, je ne vois pas comment on peut démontrer deux résultats qui présentemment se contredisent...
Question 4:
"Démontre que tout polynômede degré
admet au plus
racines réelles.
Indication : Utiliser le théorème de Rolle pour montrer d'abord que si une fonction réelles'annule
fois, alors la dérivée
s'annule
fois. "
Je suis l'indication, et je montre donc :
s'annule
fois, donc on doit avoir les zéros de l'équation
qui sont
qu'on peut classer de telle façon que
qui ont la propriété que
.
En utilisant le théorème de Rollefois, je montre qu'il existe
tel que
et que
.
Donc, la dérivée s'annulefois.
Mais comment démontrer quea
racines alors?
Je ne vois pas comment continuer....
Merci d'avance pour toutes vos réponses, quelque soit la question!
Cordialement![]()
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