Calcul différentiel - Divers Problèmes

invitebbd6c0f9 · 05/10/2013, 13h25

Bonjour tout le monde

Avec mes exercices habituels, j'ai encore deux-trois questions, qui suivent ci-dessous :

Question 1:

"Si une fonction admet un point où la dérivée n'existe pas, alors ce point est un extremum local."

C'est une affirmation dont il faut dire si elle est vraie ou fausse.

J'ai pris les exemples que je connais des fonctions non dérivables en certain(s) point(s), comme $\text{[math]}$ , en 0, ou $\text{[math]}$ en 0 (compliqué mais on a étudié cette fonction dans un exercice).

Et à chaque fois l'affirmation marche.

Cela me laisse penser que l'affirmation est vraie, mais alors il faut la démontrer. Sauf que je n'ai aucune idée de ce qu'on peut tirer de " $\text{[math]}$ n'existe pas".

Il faudrait arriver à " $\text{[math]}$ ", en utilisant une certaine proposition qui nous dit que si $\text{[math]}$ admet un extremum local en $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Mais alors comment prouver $\text{[math]}$ n'existe pas $\text{[math]}$ ?

Question 2:

"Si une fonction dérivable est croissante pour $\text{[math]}$ et décroissante pour $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ ".

Il faut à nouveau dire si l'affirmation est vraie ou fausse.
Encore une fois, en prenant des exemples comme $\text{[math]}$ , je n'ai que pu remarquer que la propriété supposée était vraie, mais je bloque à la démonstration.

J'ai essayé par une méthode, mais je ne suis pas sûr, je pensais qu'il fallait utiliser Rolle ou les accroissements finis... Enfin, voici ma méthode :

Je pose f(0)=a. Comme la fonction est croissante pour $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .
Comme la fonction est décroissante pour $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Donc, $\text{[math]}$ est un extremum (maximum ici) général (donc local), et en utilisant la même proposition que dans la question 1, j'obtiens que $\text{[math]}$ .

Je vous remercie d'avance de me redire mes erreurs, ou de me conseiller sur une autre méthode.

Question 3:

Cette question est en deux parties : premièrement, une démonstration dont je vois le bout mais je n'arrive pas au bon résultat; deuxièmement, un paradoxe avec une autre démonstration qui se contredisent.

J'ai déjà montré que $\text{[math]}$ était strictement décroissante sur $\text{[math]}$ . J'ai ensuite montré que si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ (simple, utiliser la propriété que la fonction est décroissante).

Mais ensuite, on me demande, pour les mêmes conditions de $\text{[math]}$ et de $\text{[math]}$ , de prouver que
$\text{[math]}$ .

Il a une indication qui est de prouver d'abord que $\text{[math]}$ , et utiliser le fait que $\text{[math]}$ .

J'ai alors procéder comme ceci :

Comme $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ (J'arrive au résultat demandé de l'indication).

$\text{[math]}$ (Je mutliplie par $\text{[math]}$ des deux côtés)

$\text{[math]}$ (J'organise).

$\text{[math]}$ (J'utilise $\text{[math]}$ ), et là c'est le fail

Je ne peux pas remplacer le $\text{[math]}$ par un $\text{[math]}$ , car $\text{[math]}$ .

Mais alors comment arriver au résultat? Merci d'avance

Ensuite, mon paradoxe, c'est que si $\text{[math]}$ comme on devrait démontrer, alors $\text{[math]}$ , ce qui contredit le fait que $\text{[math]}$ , ce que j'ai démontré juste avant! Je bloque vraiment, je ne vois pas comment on peut démontrer deux résultats qui présentemment se contredisent...

Question 4:

"Démontre que tout polynôme $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ admet au plus $\text{[math]}$ racines réelles.
Indication : Utiliser le théorème de Rolle pour montrer d'abord que si une fonction réelle $\text{[math]}$ s'annule $\text{[math]}$ fois, alors la dérivée $\text{[math]}$ s'annule $\text{[math]}$ fois. "

Je suis l'indication, et je montre donc :

$\text{[math]}$ s'annule $\text{[math]}$ fois, donc on doit avoir les zéros de l'équation $\text{[math]}$ qui sont $\text{[math]}$ qu'on peut classer de telle façon que $\text{[math]}$ qui ont la propriété que $\text{[math]}$ .
En utilisant le théorème de Rolle $\text{[math]}$ fois, je montre qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ .

Donc, la dérivée s'annule $\text{[math]}$ fois.

Mais comment démontrer que $\text{[math]}$ a $\text{[math]}$ racines alors?
Je ne vois pas comment continuer....

Merci d'avance pour toutes vos réponses, quelque soit la question!

Cordialement

invite4bf147f6 · 05/10/2013, 13h43

Bonjour,

pour la première question, tu peut regarder la fonction égale à -1 sur x<0 et égale à 1 si x > 0 et prend la valeur 0 en 0

**gg0** · 05/10/2013, 13h52

Bonjour.

Pour ton point 1, tu peux penser à des fonctions très discontinues, comme la fonction caractéristique de $\text{[math]}$ . Elle ne donne pas vraiment un contre exemple (tout point est extrémum global), mais on peut la modifier.
S'il s'agit d'une fonction dérivable sur [a,c[ U ]c,b], tu peux regarder x sin(1/x) prolongé par continuité en 0; ou des fonctions de ce genre.
Par contre, tu devrais éviter les absurdités du genre "Il faudrait arriver à " $f'(a) =0$ "" alors que f'(a) n'existe pas, mais 0 lui existe bien !!

Cordialement.

**gg0** · 05/10/2013, 13h57

Pour la question 3, il y a un big problème :

J'ai ensuite montré que si $0<a<b< \frac{\pi}{2}$ , alors $\frac{a}{b} < \frac{ \sin a }{ \sin b }$

Mais ensuite, on me demande, pour les mêmes conditions de $a$ et de $b$ , de prouver que
$\frac{ \sin a }{ \sin b } < \frac{ \pi a }{ \pi b }$ .

C'est absurde, puisque $\text{[math]}$
Il serait étonnant que tu ais cette fraction simplifiable dans ton énoncé.

NB : la proposition de Mickan pour la question 1 est bien plus simple que les miennes.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 05/10/2013, 13h59

Pour la question 4, tu peux maintenant travailler par récurrence sur n, en utilisant le fait que la dérivée est de degré 1 d'e moins (on commencera avec n=1).

Bon travail !

invitebbd6c0f9 · 05/10/2013, 15h14

Envoyé par mickan

Bonjour,

pour la première question, tu peut regarder la fonction égale à -1 sur x<0 et égale à 1 si x > 0 et prend la valeur 0 en 0

Envoyé par gg0

Bonjour.

Pour ton point 1, tu peux penser à des fonctions très discontinues, comme la fonction caractéristique de $\text{[math]}$ . Elle ne donne pas vraiment un contre exemple (tout point est extrémum global), mais on peut la modifier.
S'il s'agit d'une fonction dérivable sur [a,c[ U ]c,b], tu peux regarder x sin(1/x) prolongé par continuité en 0; ou des fonctions de ce genre.
Par contre, tu devrais éviter les absurdités du genre "Il faudrait arriver à " $f'(a) =0$ "" alors que f'(a) n'existe pas, mais 0 lui existe bien !!

Cordialement.

Envoyé par gg0

NB : la proposition de Mickan pour la question 1 est bien plus simple que les miennes.

Merci de vos réponses!

Alors je prends l'exemple de Mickan :

Soit la fonction $\text{[math]}$ .
Je calcule $\text{[math]}$ .

La dérivée est donc définie sur $\text{[math]}$ , et est indéfinie en $\text{[math]}$ .

Maintenant, il faut voir que $\text{[math]}$ n'est pas un extremum local pour montrer que l'affirmation est fausse.

Mais comme $\text{[math]}$ n'est pas définie, je calcule $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Mais comme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , la dérivée en 0 n'existe pas, mais $\text{[math]}$ n'est pas un extremum local de la fonction.

Est-ce correct et suffisant comme explication?

Envoyé par gg0

Pour la question 3, il y a un big problème :

C'est absurde, puisque $\text{[math]}$
Il serait étonnant que tu ais cette fraction simplifiable dans ton énoncé.

Et pourtant! Je vous mets en attaché une image de mon énoncé (désolé pour la qualité) :
Nom : image.jpg
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Je vous ai retranscrit exactement l'énoncé, la fraction est telle qu'elle est dans l'énoncé.
Si c'est une erreur, je peux si vous trouvez cela judicieux, finir par $\text{[math]}$ comme montré en #1 et expliquer pourquoi la démonstration n'est pas voulu (tout simplement en mettant en lien les deux dé onstration et en voyant qu'on ne peut pas arriver à cette deuxième démonstration).

Envoyé par gg0

Pour la question 4, tu peux maintenant travailler par récurrence sur n, en utilisant le fait que la dérivée est de degré 1 d'e moins (on commencera avec n=1).

Bon travail !

Ha ha! Il me semblait que la récurrence était de mise (k+1, k fois, ça sent la récurrence

), je vous mets donc mon raisonnement :

Supposition : On démontre que la propriété $\text{[math]}$ : Le polynôme $\text{[math]}$ de degré $\text{[math]}$ admet au plus $\text{[math]}$ racines réelles $\text{[math]}$ La dérivée de la fonction $\text{[math]}$ s'annule au moins $\text{[math]}$ fois, pour tout $\text{[math]}$ .

Vérification de $\text{[math]}$ :

Comme $\text{[math]}$ est de degré 1, alors le graphe de la fonction est une droite. Par conséquent, la fonction est soit tout le temps décroissante, ou tout le temps croissante. Donc, la fonction n'admet aucun extremum (global ou local). Donc, il n'existe aucun $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Donc, la dérivée de la fonction s'annule (1-1)=0 fois.

Récurrence : On suppose $\text{[math]}$ vraie. On démontre $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$ a (n+1) racines, donc s'annule $\text{[math]}$ fois, donc on doit avoir les zéros de l'équation $\text{[math]}$ qui sont $\text{[math]}$ qu'on peut classer de telle façon que $\text{[math]}$ qui ont la propriété que $\text{[math]}$ .
En utilisant le théorème de Rolle $\text{[math]}$ fois, je montre qu'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ .

Donc, la dérivée s'annule $\text{[math]}$ fois.

Conclusion : $\text{[math]}$ est vraie.

Trouvez-vous cette démonstration correcte?

Et pour ma résolution de ma deuxième question, qu'en pensez-vous?

Merci d'avance !

Cordialement

**gg0** · 05/10/2013, 15h23

Je calcule $f'(x) = \frac{ ( |x|)' \cdot x - |x| \cdot 1 }{ x^2 } = \frac{ \frac{ |x|}{x} \cdot x - |x| }{ x^2 } = \frac{0}{x^2}$ .

La dérivée est donc définie sur [IMG]http://www.futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%20%5Cmathbb%7BR%7 D%5E*[/IMG], et est indéfinie en $0$ .

Maintenant, il faut voir que $0$ n'est pas un extremum local pour montrer que l'affirmation est fausse.

Mais comme $f(0)$ n'est pas définie,

Non, tu racontes n'importe quoi : La fonction de Mickan n'est pas celle que tu as utilisée. Sois sérieux, et simplement, trace la courbe de la fonction de Mickan.

Pour la question 4, tu es aussi à côté de la plaque. Tu as démontré une propriété auxiliaire. Maintenant, tu as une propriété à démontrer (relis ton énoncé). Tu verras bien où ta propriété auxiliaire sert. maizs ce qu'il y a à démontrer par récurrence n'est pas une équivalence, ni une implication.

Pour ton énoncé, comme il est faux, tu peux inventer toutes les modifications que tu veux, ce n'est plus l'énoncé. Ne perds pas ton temps.

Cordialement.

**gg0** · 05/10/2013, 15h25

Pour la deuxième question, si tu as appliqué strictement un théorème de ton cours, c'est bon. Je ne peux pas en juger.

invitebbd6c0f9 · 05/10/2013, 17h36

Envoyé par gg0

Non, tu racontes n'importe quoi : La fonction de Mickan n'est pas celle que tu as utilisée. Sois sérieux, et simplement, trace la courbe de la fonction de Mickan.

Pour la question 4, tu es aussi à côté de la plaque. Tu as démontré une propriété auxiliaire. Maintenant, tu as une propriété à démontrer (relis ton énoncé). Tu verras bien où ta propriété auxiliaire sert. maizs ce qu'il y a à démontrer par récurrence n'est pas une équivalence, ni une implication.

Pour ton énoncé, comme il est faux, tu peux inventer toutes les modifications que tu veux, ce n'est plus l'énoncé. Ne perds pas ton temps.

Cordialement.

J'ai tracé le graphe, rassurez-vous. Et il se trouve que j'ai obtenu ceci .
Je vois bien la droite y=-1 pour tous les (-x<0), la droite y=1 pour tous les (x>0), et le point (0;0) relié aux deux droites par la droite x=0.
Donc, je vois pas pourquoi je suis à côté... Si (-x<0), alors $\text{[math]}$ et si (x>0), alors $\text{[math]}$ , le seul point qui pose problème est 0, mais comme $\text{[math]}$ , cela correspond...

M'enfin bon, si on prend la fonction :

$\text{[math]}$ ,

Alors la dérivée vaut 0 pour $\text{[math]}$ , et " vaut $\text{[math]}$ " pour x=0, donc est indéfinie en 0.

Mais 0 n'est pas un extremum local de la fonction, comme expliqué en #6.

Est-ce mieux cette fois?

Pour l'exercice 4, je ne vois pas qu'est-ce que l'on peut utiliser pour la récurrence..
On veut prouver que tout polynôme p(x) de degré n admet au plus n racines réelles.
Si vous dites que la récurrence ne traite ni une équivalence, ni une implication, je peux supposer qu'il faut démontrer une égalité, mais je ne vois pas quelle égalité on peut démontrer dans la récurrence, à part $\text{[math]}$ , mais je ne vois quel intérêt (surtout comment appliquer la récurrence) ça a.

Je vous demande humblement une indication sur l'affirmation à démontrer pour la récurrence.

(Si l'égalité que je propose est la bonne, je vois juste que pour la récurrence, on peut dire que l'on suppose un polynôme de degré n à n racines, et après on démontre que s'il a (n+1) racines, sa dérivée en a n (en utilisant l'indication), mais après, je sèche).

Pour la question 3, je ferai ainsi alors, et pour la question 2, je vous remercie de votre réponse.

Cordialement

**gg0** · 05/10/2013, 17h53

le point (0;0) relié aux deux droites par la droite x=0.

Il faudra apprendre un jour ce qu'est la courbe d'une fonction !

Bon sérieusement, ta fonction n'est pas continue en 0, parler de sa dérivée en 0 est assez malsain. Et c'est ce que tu faisais. Mais j'ai l'impression que tu ne lis pas ce que tu écris... Inutile alors de te répondre ?
Si tu étais un peu plus sérieux, tu n'écrirais pas des âneries de ce genre :

Alors la dérivée vaut 0 pour $x \neq 0$ , et " vaut $\pm \infty$ " pour x=0, donc est indéfinie en 0.

Il ne sert à rien de mettre des guillemets pour adoucir les âneries, c'est toujours des âneries.

Bon, je suis dur, mais il faut reconnaître que tu n'y mets pas du tien, tu écris sans savoir ...

Quand tu seras décidé à faire des maths, tu verras tout de suite le niveau intellectuel de ce que tu as écrit.

Pour l'exercice 4, il serait bon de traiter la question à prouver en écrivant une hypothèse de récurrence utile. Tant que tu restes dans le flou... Alors, que dois-tu démontrer (qui dépend d'un entier n) ?

invitebbd6c0f9 · 05/10/2013, 18h57

Envoyé par gg0

Mais j'ai l'impression que tu ne lis pas ce que tu écris... Inutile alors de te répondre ?
Si tu étais un peu plus sérieux, tu n'écrirais pas des âneries de ce genre :

Il ne sert à rien de mettre des guillemets pour adoucir les âneries, c'est toujours des âneries.

Bon, je suis dur, mais il faut reconnaître que tu n'y mets pas du tien, tu écris sans savoir ...

Quand tu seras décidé à faire des maths, tu verras tout de suite le niveau intellectuel de ce que tu as écrit.

En fait, vous parlez surtout sans savoir !

Les âneries, c'est ce que l'on m'a appris dans mon cours. Donc allez faire la morale à mon prof, en attendant, j'ai appris car ceci est dans mon cours que si la dérivée "vaut $\text{[math]}$ ", alors la dérivée est indéfinie.

Donc, oui j'y mets du mien, j'essaie de faire le lien entre mon cours, ce que l'on me demande et les indication que vous me donnez, mais ne dites pas que je ne suis pas décidé à faire des maths, car à nouveau vous parlez sans savoir.

Oui, je lis ce que j'écris, je ne suis pas encore aveugle.

(Vous frisez l'indécence, je vous prierais de rester correct).

Envoyé par gg0

Bon sérieusement, ta fonction n'est pas continue en 0, parler de sa dérivée en 0 est assez malsain. Et c'est ce que tu faisais.

Pour l'exercice 4, il serait bon de traiter la question à prouver en écrivant une hypothèse de récurrence utile. Tant que tu restes dans le flou... Alors, que dois-tu démontrer (qui dépend d'un entier n) ?

Côté maths, pour l'exercice 1, je me contenterai alors de dire que f'(x) = 0 pour tout x différent de 0, et que la dérivée est indéfinie en 0, mais que 0 n'est pas un extremum (local ou global), donc c'est un contre-exemple de mon affirmation.

Pour l'exercice 4, c'est justement mon interrogation : qu'est-ce que je dois montrer dans ma récurrence? Mais bon, vu qu'apparemment, je dois trouver tout seul, je dirais que je dois montrer par récurrence que si un polynôme p(x) est de degré n, alors ce polynôme a au plus n racines réelles.

Pour la vérification de P(1), comme p(x) est de degré 1, c'est un droite et donc il a au plus une solution (zéro si la pente vaut 0, une si la pente est différent de 0).
Pour la récurrence, je suppose que p(x) de degré n admet n racines réelles, et je montre que p(x) de degré n+1 a n+1 racines réelles :
on dit que p(x) a n+1 racines qu'on ordonne ainsi : $\text{[math]}$ , et comme on a montré que si la fonction s'annulait n+1 fois comme ici, la dérivée s'annulait n fois, donc p'(x) s'annule n fois. Et normalement, je devrais arriver à la conclusion que p(x) est de degré n+1, mais comme indiqué dans mon précédent message, je ne sais pas comment procéder ensuite...

Merci de bien vouloir m'aider.

Cordialement

**gg0** · 05/10/2013, 19h05

Si ces âneries sont dans ton cours, jette-le, tes profs ne sont pas sérieux.

Il y a une définition usielle de "dérivable" avec une limite finie.
De plus, dans le cas de la fonction de Mickam, la limite n'est pas infinie, elle n'existe pas (calcule-la vraiment, au lieu d'inventer à partir d'un dessin faux).

Je regrette, mais si tu es sur ce mode-là, débrouille-toi seul avec tes cours faux.

Allez, quand même pour la récurrence : p'(x) est de degré n (ultra-connu).

invitebbd6c0f9 · 05/10/2013, 19h24

Envoyé par gg0

Si ces âneries sont dans ton cours, jette-le, tes profs ne sont pas sérieux.

Il y a une définition usielle de "dérivable" avec une limite finie.
De plus, dans le cas de la fonction de Mickam, la limite n'est pas infinie, elle n'existe pas (calcule-la vraiment, au lieu d'inventer à partir d'un dessin faux).

Je regrette, mais si tu es sur ce mode-là, débrouille-toi seul avec tes cours faux.

Allez, quand même pour la récurrence : p'(x) est de degré n (ultra-connu).

En attendant, mes profs m'ont appris plus que n'importe quel autre prof n'aurait pu m'apprendre.
Dans ce cas, je n'ai pas vu cette définition. Je n'invente rien, je procède selon ce que je connais en essayant de faire mon mieux.
Et je ne suis sur aucun mode, je m'offusque simplement de vos paroles du genre "il faut reconnaître que tu n'y mets pas du tien" #10, qui sont absolument déplacées et irrespectueuses envers le temps que je passe à étudier et à écrire sur ce forum.
Il y a sûrement des erreurs dans mon cours, mais qui ne fait pas d'erreurs ? N'allez pas dire que vous n'avez jamais fait d'erreurs non plus...
Je ne connaissais pas le fait qu'avec ces conditions, p'(x) était de degré n. Merci pour l'information, j'essaierais alors de l'utiliser à bon escient.

Si vous ne voulez plus me répondre car que je "suis sur ce mode", sachez que je vous remercie pour les conseils que vous aurez pu me donner et que je suis étonné de voir que vous piquez ainsi la mouche alors que je n'ai qu'essayer de répondre le plus correctement.

Cordialement

**gg0** · 05/10/2013, 20h00

C'est ton "(Vous frisez l'indécence, je vous prierais de rester correct)." qui me fait réagir.

Sérieusement, tu as un énoncé incohérent,un cours avec une notion de "dérivée indéfinie" qui remplace la notion de non dérivable (même si lorsque la limite est $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ il y a existence d'une tangente) et qui t'empêche de regarder ce qui se passe pour la dérivation de la fonction de Mickan en 0, ça commence à faire beaucoup. De plus, depuis le début, tu n'a regardé l'exemple de Mickan que de loin, malgré mes remarques.

Je te ferai aussi remarquer que qualifier des affirmations d'âneries ne dit rien de l'auteur. A moins qu'il considère qu'elles sont représentatives de sa pensée profonde, auquel cas je n'ai rien à faire ici.

Donc il serait bon que tu reprennes sérieusement les explications qui te sont données.
J'ai quand même un peu l'impression que la formation que tu suis va trop vite pour toi (ce qui n'a rien d'anormal, vu le contenu parcouru en si peu de temps) et que ce qui est une évidence pour un élève de fin de première (degré de la dérivée d'un polynôme), donc immédiat (*)quand on traite le genre de questions que tu as ici (en université), n'est pas acquis, ainsi que pas mal d'autres choses.

Je suis aussi très inquiet si tu n'as pas vu la définition du nombre dérivé et celle de la fonction dérivée. On les trouve facilement, va les voir. Parler sans savoir est dangereux.

Cordialement.

(*) formule de dérivation de xⁿ, tout simplement.

invite4bf147f6 · 05/10/2013, 20h26

Calmons nous voulez vous, inutile d'aller sur internet pour se prendre la tête.

Pour la récurrence de la question 4 le début est bon, pour la phase d'hérédité on peut mettre un peu d'absurde. En effet si l'on suppose que le polynôme P de degré n+1 a strictement plus de n+1 racines...

**gg0** · 05/10/2013, 20h59

Mickan,

ce n'est pas la première fois que je suis agacé par la formation que suit l'anonyme : très rapide (en un an, de la troisième à des notions vues avec le point de vue du supérieur), sans cohérence, sans les outils nécessaires parfois à traiter les exercices. Et ça ressemble à une formation pour des olympiades faite par des gens pas doués.

Cordialement.

invitebbd6c0f9 · 05/10/2013, 23h05

Bonsoir,

Je crois qu'il y a eu malentendu.
J'ai voulu (pendant tout le temps de cette discussion) parler de la fonction de Mickan, mais je crois que je m'y suis mal pris : ma fonction en 0 va de -1 à 1, tandis que celle de Mickan vaut 0 et c'est une valeur unique, contrairement à l'exemple que j'ai cru équivalent.

J'ai cru donc que je parlais de la bonne fonction, alors que vous croyiez que je persistais dans mon exemple différent.

Mais sachez que je prends toujours tout ce qui est dit sur ce forum au sérieux.

J'ai vu la définition du nombre dérivée et de la fonction dérivée, ainsi que l'exemple $\text{[math]}$ (dans le cas où $\text{[math]}$ aussi).

Et détrompez-vous (comme vous dites, parler sans savoir est dangereux) : Nos professeurs sont loin d'être des gens pas doués, contrairement à certains enseignants que j'ai pu voir niveau lycée (la correspondance en France).

Pour en revenir à l'exercice 4, j'essaye une meilleure forme (avec les conseils de Mickan que je prends au sérieux

) :

Supposition : Si un polynôme p(x) est de degré n, alors ce polynôme a au plus n racines réelles.

Pour la vérification de P(1), comme p(x) est de degré 1, c'est un droite et donc il a au plus une solution (zéro si la pente vaut 0, une si la pente est différent de 0).

Pour la récurrence, je suppose que p(x) de degré n admet n racines réelles, et je montre que p(x) de degré n+1 a n+1 racines réelles par l'absurde :

Je pars de p(x) est de degré (n+1) : je dérive n fois, et j'arrive à un polynôme de degré 1, qui doit donc admettre une solution au plus.
Je pars de p(x) admet au plus (n+1) racines : par l'absurde, je suppose que p(x) admet au moins (n+2) racines réelles. Comme montré dans l'exercice, p'(x) admet au moins (n+1) racines (par l'absurde), etc... Je dérive n fois et j'arrive à un polynôme qui a au moins 2 racines réelles.
Il y a contradiction : p(x) doit donc bien admettre une solution au plus, donc p(x) doit admettre l'inverse de "au moins (n+2) racines réelles", soit au plus (n+1) racines réelles.

Conclusion : P(n) est vraie.

Est-ce correct ?
Merci de vos réponses.

P.S. : Comment écrit-on la énième dérivée de $\text{[math]}$ par exemple ? $\text{[math]}$ non ?

Cordialement

invite4bf147f6 · 06/10/2013, 11h17

Bonjour,

Comment écrit-on la énième dérivée de par exemple? f⁽ⁿ⁾(x) non ?

Effectivement.

Pour la récurrence de la question 4 le début est bon, pour la phase d'hérédité on peut mettre un peu d'absurde. En effet si l'on suppose que le polynôme P de degré n+1 a strictement plus de n+1 racines...

on dérive une fois le polynôme P, comme il y'a strictement plus de n+1 racines, alors P' s'annule au moins combien de fois? Trouver la contradiction en utilisant le degré du polynôme P'.

**gg0** · 06/10/2013, 11h28

Aie, aie, aie ! quel fouillis !

"Je pars de p(x) est de degré (n+1) : je dérive n fois, et j'arrive à un polynôme de degré 1, qui doit donc admettre une solution au plus." ??? A quoi cela sert-il ?

"Je pars de p(x) admet au plus (n+1) racines " Non, c'est ce qu'il faut démontrer !!

"Je pars de p(x) admet au plus (n+1) racines : par l'absurde, je suppose que p(x) admet au moins (n+2) racines réelles. " Ce n'est plus une preuve par l'absurde, mais une "preuve" par acceptation d'absurdité. On ne peut pas soutenir à la fois "p(x) admet au plus (n+1) racines" et "p(x) admet au moins (n+2) racines réelles."

Bon, si tu étais raisonnable, tu pratiquerais calmement le raisonnement par récurrence. L'hypothèse à prouver est "Tout polynôme de degré n admet au plus n racines réelles". Tu as fait l'initialisation, reste l'hérédité. On a donc comme hypothèse "Tout polynôme de degré n admet au plus n racines réelles". On veut démontrer la même propriété pour n+1. On considère un polynôme quelconque P de degré convenable (n+1) et on va démontrer qu'il a au plus n+1 racines réelles. Ce qui montrera que c'est vrai pour tous les polynômes de degré n+1 puisque P est n'importe lequel d'entre eux.
La preuve a donc la structure :

On suppose maintenant que tout polynôme de degré n admet au plus n racines réelles. Soit P un polynôme de degré n+1
....
donc P a au plus n+1 racines réelles.
Donc tout polynôme de degré n+1 admet au plus n+1 racines réelles.

Ce qui achève la preuve de : "Tout polynôme de degré n admet au plus n racines réelles".

dans les ..., tu peux placer ta preuve par l'absurde. Comme seul P est en cause, c'est sur P que tu supposes l'existence d'au moins n+2 racines.

Cordialement.

NB : Quel que soit le niveau de tes enseignants, quand ils t'apprennent à dire dérivables des fonctions non dérivables (au sens commun), ils font une erreur. La preuve, tu es perdu sur cet exercice 1, pourtant facile.

invitebbd6c0f9 · 06/10/2013, 12h20

Envoyé par mickan

Bonjour,

Effectivement.

on dérive une fois le polynôme P, comme il y'a strictement plus de n+1 racines, alors P' s'annule au moins combien de fois? Trouver la contradiction en utilisant le degré du polynôme P'.

P' s'annule au moins n+1 fois et P' est de degré n.
Je trouve la contradiction dans ma réponse à gg0.

Envoyé par gg0

On suppose maintenant que tout polynôme de degré n admet au plus n racines réelles. Soit P un polynôme de degré n+1
....
donc P a au plus n+1 racines réelles.
Donc tout polynôme de degré n+1 admet au plus n+1 racines réelles.

Ce qui achève la preuve de : "Tout polynôme de degré n admet au plus n racines réelles".

dans les ..., tu peux placer ta preuve par l'absurde. Comme seul P est en cause, c'est sur P que tu supposes l'existence d'au moins n+2 racines.

Soit P un polynôme de degré n+1. Alors P' est de degré n (dérivé de $\text{[math]}$ ).
On suppose par l'absurde que P admet au moins n+2 racines. Alors P' doit au moins en admettre n+1 (Démonstration faite avec l'exercice).
En utilisant notre hypothèse de récurrence, à savoir "tout polynôme de degré n admet au plus n racines", il y a alors contradiction avec P' : Il ne peut pas avoir au moins n+2 racines, il doit donc en avoir au plus n+1.
Donc P a au plus n+1 racines.
Donc tout polynôme de degré n+1 admet au plus n+1 racines réelles.

Est-ce la bonne forme (et les bons mots) ?

(Je peux comprendre que vous dites que je suis dans l'irraison ?)

Cordialement

invited3a27037 · 06/10/2013, 19h05

bonsoir

Pour la question 1, "Si une fonction admet un point où la dérivée n'existe pas, alors ce point est un extremum local."

C'est clairement faux

L'exemple de Mickan n'est pas très judicieux car sa fonction n'est pas continue

Plus simplement, la fonction f telle que f(x) = -x pour x<=0 et f(x)=-2x pour x>0 n'est pas dérivable en 0, elle est continue, et il n'y a pas d'extrémum en ce point

invitebbd6c0f9 · 06/10/2013, 20h29

Envoyé par joel_5632

bonsoir

Pour la question 1, "Si une fonction admet un point où la dérivée n'existe pas, alors ce point est un extremum local."

C'est clairement faux

L'exemple de Mickan n'est pas très judicieux car sa fonction n'est pas continue

Plus simplement, la fonction f telle que f(x) = -x pour x<=0 et f(x)=-2x pour x>0 n'est pas dérivable en 0, elle est continue, et il n'y a pas d'extrémum en ce point

Ah ouais effectivement!

Je visualise votre exemple, et je comprends votre raisonnement ^^

Merci de cet exemple

Cordialement

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