Suites et limites

[invitea9cb08dc]

Bonjour, j'ai un exercice a faire pour vendredi noté mais il est difficile le voila :
Bonjour, j'ai un exercice a faire sur les suites et leurs limites assez difficile, le voila :

1.On considère la fonction f définie sur ]0;+ [ par : f(x)=1/2(x+2/x)
On appelle Cf la courbe représentative de la fonction f.
a. Etudier les variations de la fonction f
b. Résoudre l'équation f(x)=x
c. Représenter la courbe Cf et la droite d'équation y=x

2.On définit la suite (Un) par : U0=1 et Un+1=f(Un)
a. Représenter graphiquement les premiers termes de la suite sur le graphique de la question 1.c.
b. Conjecturer le comportement de la suite (Un); sens de variation et limite


Merci de m'aider

Voici ce que j'ai fais :

f(x)=1/2(x+2/x) donc f'(x)=1/2(1+-2/x^2)
=1/2+1/2-2/x^2
=1/2+-2/2x^2
=(12x^2)/2(2x^2)+(-22)/(2x^22)
=2x^2/4x^2+-4/4x^2

Mais a partir de la je ne sais pas quoi faire. Merci de m'aider
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[invited3a27037]

Tu as bien trouvé cette expression de la dérivée mais après tu la transformes d'une manière que je ne comprends pas.

A partir de cette expression, tu as immédiatement les zéros de la dérivée et son signe.

Fais un tableau en n'oubliant pas le cas x=0 où f n'est pas définie

[invitea9cb08dc]

Merci de votre réponse. Voici ce que j'ai fais :

x -oo 0 +oo

1/2-1/x^2 décroissante ll Croissante

La fonction est donc décroissante de ]-oo;0[ et est croissante de ]0;+oo[
Je ne suis pas sur de moi ..Pouvez vous aussi m'expliquer ce qu'il faut faire a la question : résoudre l'équation f(x)=x je ne comprends pas vraiment ce qu'il faut faire
Merci

[invite4bf147f6]

Bonjour,

A partir de la dérivé de la fonction f, cherche le signe de f', dans un premier temps il est bon de chercher les valeur de x qui annule la dérivée: résoudre f'(x)=0. De plus dans l'énoncer la fonction est dite défini sur ]0;+00[ donc il ne faut pas étudier les variations de f sur]-00;0[.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea9cb08dc]

Il faut donc que je dise que f'(x) est croissante sur ]0;+oo[ donc f(x) aussi ?

[invited3a27037]

Déjà on commence par chercher les zéros (racines) de la dérivée

Finalement on va mettre la dérivée sous la forme:

Il est clair que la dérivée s'annule pour

Ensuite le signe de f'. Le dénominateur est toujours positif, donc le signe de f' est le signe de . C'est un trinome du 2ème degré, donc positif sauf entre les racines

Du coup dans le tableau de variation il doit y avoir 3 valeurs,

Il faut quand même regarder ce qui se passe autour de 0 en cherchant et


Une dernière chose, le comportement en et avec une droite asymptote évidente

> Mickan
>De plus dans l'énoncer la fonction est dite défini sur ]0;+00[ donc il ne faut pas étudier les
> variations de f sur]-00;0[

Ah oui, effectivement

[invitea9cb08dc]

Donc voici le tableau de signe

x -sqrt(2) 0 sqrt(2)

2x^2 + + + +

x^2-2 + - - +

x^2-2/2x^2 + - - +