Dérivée N-ième de 1/x

[jonasb]

Salut,
j'ai un dm à rendre pour demain mais je n'arrive pas à faire un exo:
Soit f(x)=1/x pour tout x!=0

1) Calculer f(1)(x) f(2)(x) f(3)(x)

Je trouve f(1)(x)=-1/x^2; f(2)(x)= 2/^x^3; f(3)(x)=-6/x^4

2) On observe que f(n)(x) est de la forme a_n/xⁿ⁺¹

a) Que valent a₁, a₂, a₃, a₄

Je calcule f(4)(x) et je trouve 24/x^5
Donc: a₁=-1; a₂=2; a₃=-6 et a₄=24

b) Conjecturer a₅, le prouver
c) Conjecturer a_n, le démontrer par recurrence

Je ne trouve pas de lien entre les a ....... à part que les a paires sont positifs et les impairs négatifs ......
Est ce que vous pourriez me donner une petite piste svp ?
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[PlaneteF]

Bonjour,

Pense à la notion de factorielle.

Cordialement

[jonasb]

merci ! Mais pourquoi le numérateur change de signe alors ? (je ne en terminale et on a pas beaucoup vu les factorielles)
Ou sinon ça pourrait être: -1^n*n!

Donc on aurait alors (-1^n*n!)/x^n+1 ?

[PlaneteF]

Donc on aurait alors (-1^n*n!)/x^n+1 ?

Ca manque de parenthèses tout çà !

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[jonasb]

Ok donc il ne me reste plus QUE à démontrer par récurrence que: f(n)(x)=(-1ⁿ⁺¹*n!)/xⁿ⁺¹ ?

[PlaneteF]

Ok donc il ne me reste plus QUE à démontrer par récurrence que: f(n)(x)=(-1ⁿ⁺¹*n!)/xⁿ⁺¹ ?

L'exposant du (-1) n'est pas correct.

[jonasb]

ha oui ! c'est : f(n)(x)=(-1ⁿ*n!)/xⁿ⁺¹

[jonasb]

merci bcp !

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

ha oui ! c'est : f(n)(x)=(-1ⁿ*n!)/xⁿ⁺¹

Non ! C'est f⁽ⁿ⁾(x)=((-1)ⁿ*n!)/xⁿ⁺¹

Duke.