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Dérivée - Problème concret



  1. #1
    The_Anonymous

    Question Dérivée - Problème concret


    ------

    Bonjour tout le monde!

    J'ai un petit souci de compréhension avec un problème, voici l'énoncé :

    "On fabrique une boîte sans couvercle avec une plaque de carton carrée de côté en découpant dans chaque coin un carré de côté , la hauteur de la boîte, puis en repliant les côtés. Comment obtenir une boîte de volume maximale?

    Indication : Écrire une fonction qui donne le volume de la boîte en fonction de . Déterminer son domaine de définition et trouver son maximum."

    J'ai fait un schéma, le voilà (j'espère avoir compris la fabrication de la boîte) :

    image.jpg

    Je trouve donc que le volume vaut la hauteur de la boîte, soit multipliée par l'aire du fond de la boîte, qui est carré de côté , donc .

    Mais il faut trouver une fonction qui donne le volume en fontion de uniquement. Donc, il faudrait arriver à éliminer ce pour pouvoir ensuite calculer et les racines de la dérivée (déduire le maximum), ce qui ne devrait pas trop me poser de problème.

    Mais je n'arrive pas à trouver une fonction qui ne tiendrait compte que de .

    Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît?

    Merci d'avance

    Cordialement

    -----
    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/10/2013 à 17h02.

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  3. #2
    Duke Alchemist

    Re : Dérivée - Problème concret

    Bonjour.

    J'avoue que je ne comprends pas ton problème...
    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Je trouve donc que le volume vaut la hauteur de la boîte, soit multipliée par l'aire du fond de la boîte, qui est carré de côté , donc .
    En reprenant ce que tu as écrit ci-dessus, qu'obtiendrais-tu si tu remplaçait le t² par (c-2h)² dans l'expression de V ?

    Duke.
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 19/10/2013 à 17h47.

  4. #3
    Gabriel

    Re : Dérivée - Problème concret

    V=4h^3 -2ch^2 c^2h

  5. #4
    The_Anonymous

    Re : Dérivée - Problème concret

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Bonjour.

    J'avoue que je ne comprends pas ton problème...
    En reprenant ce que tu as écrit ci-dessus, qu'obtiendrais-tu si tu remplaçait le t² par (c-2h)² dans l'expression de V ?

    Duke.
    Bonjour,

    Je calcule... (Cf ci-dessous)

    Citation Envoyé par Gabriel Voir le message
    V=4h^3 -2ch^2 c^2h
    xD C'est quoi cette tentative de spoil fail?


    Bref, .

    Donc, bien que que je n'ai pas trouvé la fonction f(h), le domaine de définition est simplement , donc les solutions trouvés sont correctes.

    Est-ce le bon raisonnement?

    Merci d'avance !

    Édit : ma fonction f(h) n'est-elle pas tout simplement , avec c une constante (le côté du carré initial) ?

    Re-Édit : Donc on peut choisir h tel qu'on prend la moitié du côté de c, ou bien alors h tel qu'on prend le sixième du côté c, c'est ça? Mais comme pour c/2, t=0, alors la seule solution est c/6.
    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/10/2013 à 18h34.

  6. #5
    Gabriel

    Re : Dérivée - Problème concret

    Rectif erreur : V=h(c-2h)^2
    V=4(h^3) -4c(h^2) +(c^2)h

    domaine de définition 0<h<c/2

    V'=12(h^2) -8ch +c^2

    Pour h=0 => V=0
    Pour h=c/2 => V=(c^3)/2

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    The_Anonymous

    Re : Dérivée - Problème concret

    Désolé pour le double-post, j'ai répondu trop vite.

    En fait, la racine c/2 est le minimum, donc cette solution ne nous intéresse pas, mais c/6 est le maximum, donc la réponse est h=c/6, et on obtient le volume .

    Cordialement

    Édit :
    Citation Envoyé par Gabriel Voir le message
    Rectif erreur : V=h(c-2h)^2
    V=4(h^3) -4c(h^2) +(c^2)h

    domaine de définition 0<h<c/2

    V'=12(h^2) -8ch +c^2

    Pour h=0 => V=0
    Pour h=c/2 => V=(c^3)/2
    C'est vrai que le domaine de définition est correct ainsi, et on voit que la solution c/2 est exclue.

    Par contre si h=c/2, V=0
    Dernière modification par The_Anonymous ; 19/10/2013 à 18h44.

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  10. #7
    Duke Alchemist

    Re : Dérivée - Problème concret

    Re-
    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Édit : ma fonction f(h) n'est-elle pas tout simplement , avec c une constante (le côté du carré initial) ?
    En effet, c'est bien l'expression du volume V(h) de ta boîte.

    Re-Édit : Donc on peut choisir h tel qu'on prend la moitié du côté de c, ou bien alors h tel qu'on prend le sixième du côté c, c'est ça? Mais comme pour c/2, t=0, alors la seule solution est c/6.
    Tu te rends compte que si h=c/2 alors la base de ta boîte se trouve avec un côté nul. Par conséquent seul c/6 a une signification ici.

    Duke.

    EDIT : ta boîte aura une base de 2c/3 de côté et une hauteur de c/6
    Dernière modification par Duke Alchemist ; 19/10/2013 à 19h42.

  11. #8
    The_Anonymous

    Re : Dérivée - Problème concret

    Citation Envoyé par Duke Alchemist Voir le message
    Re-
    En effet, c'est bien l'expression du volume V(h) de ta boîte.

    Tu te rends compte que si h=c/2 alors la base de ta boîte se trouve avec un côté nul. Par conséquent seul c/6 a une signification ici.

    Duke.

    EDIT : ta boîte aura une base de 2c/3 de côté et une hauteur de c/6
    Merci beaucoup pour toutes les indications supplémentaires!

    (Désolé je n'avais même pas remarqué que vous aviez répondu :S)

    À la prochaine sur un autre topic

    Cordialement

  12. #9
    Gabriel

    Re : Dérivée - Problème concret

    V=4(h^3) -4c(h^2) +(c^2)h la variable est h , c est une constante

    V'=12(h^2) -8ch + (c^2) la dérivée V' s'annule pour h1=c/6 et h2=c/2

    Lorsque la dérivée est nulle, celà signifie que la fonction V passe par un extremum (maximum local ou minimum local) ou bien passe par un point de torsion.

    V'' = 24h -8c la dérivée seconde est toujours positive dans l'intervalle 0<h<c/2 donc h1 et h2 ne sont pas des points de torsion.

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