Besoin d'aide pour exercice sur les suites

[PetiteP0mme]

Bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice, à la première question, donc j'aimerais bien avoir un peu d'aide pour pouvoir le continuer ^^'
Donc voici où j'en suis :

Soit (Un) la suite définie par U₀=1 et U_n+1=U_n/U_n +1

Question 1 : Montrer que tous les termes de la suite sont strictement positifs.

-Montrons par récurrence que pour tout n appartenant aux entiers naturels U_n>0

Initialisation :
Si n=0 U₀=1>0
La propriété est vraie pour n=0

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang n donc que U_n>0. Montrons que la propriété est vraie au rang n+1 donc que U_n+1>0
Je sais que U_n>0
...

Et voilà, je suis bloquée à ce niveau :S
Merci d'avance pour votre aide !
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[ansset]

récrit U(n+1) en fct de U(n) et demande toi quel est le signe de U(n+1) connaissant celui de U(n).

[PetiteP0mme]

En fait c'était tout bête ^^'
Merci beaucoup !!!!!

[ansset]

je te pari un carambar que la suite de l'exercice sera :
le signe de U(n+1)-U(n) et donc la nature de la suite ( croissante ou pas )
une conclusion justifiée sur sa convergence ( ou pas )
la limite !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elwyr]

U(n+1) - U(n), vraiment ? Quand on me demande de montrer que la suite est positive, je pense plus naturellement au quotient, pour ma part :-'

(Je remporte le carambar si c'est le cas ?)

[ansset]

étudier le signe de U(n+1)-U(n) revient presque au même que de voir si U(n+1)/U(n) >=1 ou l'inverse.
presque car étudier le rapport suppose des precautions sur les signes et la non nulité de U(n) pour tout n.
ou est le pb ?

[Elwyr]

Tout à fait, presque au même, sauf pour les précautions. Les précautions étant prises dans cette première question, et cet Un au numérateur dans la relation de récurrence, m'ont plutôt fait songer au rapport qu'à la différence.

J'ai tendance à avoir une peur irrationnelle des différences de quotients, ce qui est visiblement un tort (vu qu'a posteriori la différence est aussi simple). Toutes mes excuses si je vous ai offensé.

[PlaneteF]

Une autre suite possible de l'énoncé qui pourrait faire perdre des carambars ici ou là :

On pose

*) Montrer que la suite est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison.

*) En déduire l'expression de puis celle de en fonction de , et l'étude de la convergence de la suite .

[ansset]

je sens que je vais perdre mon carambar !

[gg0]

Pas de panique : PetitePomme a eu sa réponse ailleurs et ne reviendra pas vous départager ...

[PetiteP0mme]

Je suis navrée Ansset, vous perdez votre carambar ^^'

C'est PlaneteF qui a trouvé la fin de l’énoncé