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Limite de n/2^n



  1. #1
    KayaTL

    Question Limite de n/2^n

    Bonjour

    Je me permet de demander un peu d'aide sur le forum car j'ai un exercice à rendre sur la limite de n/2^n quand n tend vers + l'infini mais il se trouve que je suis complètement perdue... Voici l'exercice en question :

    Partie A : Conjecture

    1: Expliquer pourquoi on ne peut pas calculer la limite de N/2^n
    Est-il correct pour cette question de dire qu'il n'est pas possible de calculer cette limite car il s'agit d'une forme indéterminée infini/infini ?

    2: En admettant que cette limite existe conjecturer à l'aide de la calculatrice cette limite.
    Je répondrai que cela semble tendre vers 0. Est-ce correct ?

    Partie B : Démonstration

    Soit (Un) la suite définie par U1= 1/2 et Un+1= ((n+1) / (2n))*Un pour tout entier naturel non nul n.

    1: Calculer les termes U2, U3, U4
    Pour U2 je trouve 3/8, pour U3 1/4 et pour U4 5/32

    C'est à partir d'ici que je bloque complètement :

    2: a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul on a : Un strictement supérieur à 0
    b. Montrer que la suite (Un) est décroissante
    c. Montrer que la suite (Un) converge bers une limite l
    d. Calculer lim (n+1) / (2n) quand n tend vers + l'infini . En déduire que l = 1/2l puis la valeur de l
    Pour la limite de (n+1) / (2n) je trouve bien 1/2 mais je ne comprend pas le reste de la question, avec l

    3: On définit la suite (Vn) par Vn - Un/n pour tout entier n supérieur ou égal à 1
    a. Montrer que (Vn) est une suite géométrique, préciser son premier terme et sa raison
    Ici je trouve v1 = 1/2 v2= 3/16 v3 = 1/12
    V2/V1 = 3/8
    J'aurai tendance à dire que la raison est 3/8 mais ca ne marche pas pour les termes d'apres... Je ne sais pas d'où vient mon erreur

    b. En déduire que Un = N/2^n pour tout entier n supérieur ou égal à 1

    4: Conclure à la valeur de lim N/2^n quand n tend vers + l'infini

    Voilà si quelqu'un pouvait me donner un petit coup de pouce, ca me serait d'une grande aide ! Merci d'avance !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : Limite de n/2^n

    Bonsoir.

    A
    1) Oui.
    2) Si c'est ce que tu as vu sur ta calculette ...
    B
    1) Tiens, moi je trouve U2=1/2, car 2=1+1, donc on prend n=1 et (n+1)/(2n)=2/2=1
    2a) Quasiment évident : une récurrence ultra-facile (si Un est positif, le signe de Un+1 est évident)
    b) même chose : compare n+1 et 2n. Donc (n+1)/(2n) ...
    c) question de cours.

    Bon, j'ai assez travaillé, à toi, c'est ton devoir ...

  4. #3
    KayaTL

    Re : Limite de n/2^n

    Ah oui en effet, je me suis trompée pour la question 1 partie B, merci. Par contre, pour la réccurence je ne vois pas trop comment commencer...

  5. #4
    gg0

    Re : Limite de n/2^n

    Comme d'habitude, par l'initialisation ...puis tu fais l'hérédité..

    C'est bizarre de dire ça alors que justement, il n'y a quasiment jamais aucun problème pour commencer.

  6. #5
    KayaTL

    Re : Limite de n/2^n

    Ce qui me bloque ici, c'est le fait d'avoir Un+1 et non pas Un, aucun problème pour l'initialisation par contre.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Limite de n/2^n

    Ben ... c'est ça qui fait marcher la récurrence !

    A croire que tu n'en as jamais fait.

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  10. #7
    KayaTL

    Re : Limite de n/2^n

    Je n'ai rien dit, je me suis un peu embrouillée toute seule mais tout est plus clair. Pas la peine cependant d'être désagréable, je ne choisis pas d'avoir des lacunes... Enfin bon, merci quand même...

  11. #8
    gg0

    Re : Limite de n/2^n

    Alors évite de répondre plus vite que ton ombre, et fais ton travail pour comprendre ce que tu as à faire. Tu reviendras poser des questions quand tu auras une vraie difficulté.

    "je ne choisis pas d'avoir des lacunes" Oui, mais tu peux choisir de les garder, ou travailler pour ne plus les avoir.

    je ne suis pas "désagréable", je dis la vérité (de ce qui ressort de tes écrits).

    Cordialement.

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