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Domaine de définition d'une primitive



  1. #1
    The_Anonymous

    Question Domaine de définition d'une primitive

    Bonsoir,

    Je suis en train d'étudier les primitives, et je me questionne à propos de leur domaine de définition (surtout pour les primitives incluant la fonction logarithme).

    Par exemple, la fonction .

    J'ai fait un raisonnement avec la composition de fonction, et je suis arrivé au résultat unique que la primitive valait .

    Or, le domaine de définition de cette primitive est .

    Mais alors que vaut la primitive de si est inférieur à (pas égal, mais strictement inférieur), ou alors si est plus grand que ?
    (J'ai compris qu'on allait pas calculer la primitive en et pour cette fonction ^^)

    Je me suis par exemple dit que pour la fonction devenait pour .

    En calculant la primitive, j'arrive à .
    Peut-on alors dire que la primitive est différente suivant ?

    Et si , que vaut la primitive ? J'ai compris que serait plus grande que , mais je ne trouve pas de moyen de calculer la primitive.

    Un deuxième exemple serait la fonction bien particulière .

    Dans ce cas, puis-je dire que ?

    Merci d'avance pour vos réponses

    Cordialement

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Domaine de définition d'une primitive

    Bonsoir.

    J'ai fait un raisonnement avec la composition de fonction, et je suis arrivé au résultat unique que la primitive valait .
    Tout d'abord, ce n'est pas "la primitive", mais "les primitives" puisque par l'intermédiaire de C tu en donnes une infinité. Toujours parler au pluriel des primitives générales.

    Ensuite, c'est faux, et tu t'en es rendu compte. Puisque la fonction f est définie sauf en 0 et 1, il devrait y avoir une primitive même quand x et 1-x sont de signes contraires.
    En fait, pour une fonction continue sur des intervalles disjoints, il n'y a pas de définition unique d'une primitive globale. je vais d'abord régler le cas de ln, puis j'y reviendrai :
    Si U>0, une primitive de u'/u est ln(U); si U<0, on peut remarquer que -U>0 et que U'/U=(-U)'/(-U) a donc comme primitive particulière ln(-U). On résume ça généralement en disant qu'une primitive de U'/U est ln(|U|). MAIS :
    Si on est sur plusieurs intervalles, il n'y a aucune raison que les deux primitives dont on a besoin se coordonnent parfaitement pour la constante éventuelle. Par exemple pour 1/x, on peut avoir ln(x)+2 pour les positifs et ln(-x)+5 pour les négatifs; ce qui ne s'écrit pas sous la forme générale ln(|x|)+C puisque C n'est pas une valeur (2 parfois, 5 dans d'autres cas, ce n'est pas une valeur).
    mais en fait, comme on ne peut pas passer continument des négatifs aux positifs, un problème de primitives, donc de dérivation, ne se posera correctement que sur un seul des deux intervalles. On parle parfois de primitive de f sur l'intervalle xxx.

    Je me suis par exemple dit que pour la fonction devenait pour .
    En calculant la primitive, j'arrive à .
    Très bizarre, ça ! D'où viendrait un x-1 à partir de x²+x ? C'est ce qu'on appelle trafiquer les calculs. Pour x<0 comme pour x>0 tu as la valeur de f(x) qui t'est donnée. Elle n'a pas à être changée, même si tu es dans ce cas tombé par hasard sur le bon résultat (vérifie).

    Cordialement.

  4. #3
    Elwyr

    Re : Domaine de définition d'une primitive

    Bonsoir,

    Pour compléter ce que dit gg0, à propos du calcul des primitives du genre de fonction que vous proposez sur un intervalle donné :

    Une technique très souvent porteuse est la décomposition en éléments simples. L'idée va être de séparer ta fraction en une somme de fractions dont le dénominateur sera un polynôme irréductible (c'est à dire non factorisable, autrement que sous la forme (c*Lui)*1/c).

    Un exemple pour être un peu plus clair : la décomposition en éléments simples de votre première fonction sera

    (Cette forme est unique, donc tous les moyens sont bons pour la trouver ; pour ce qui est des plus simples, en général, j'écris la forme de la décomposition a priori, puis je multiplie l'égalité par chaque dénominateur et j'évalue en une racine de ce dénominateur. Cela suffit à trouver une des constantes.

    Encore une fois, exemple :



    Je veux trouver alpha, je multiplie donc le tout par x et j'évalue en 0 :



    Et il n'y a plus qu'à recommencer avec x-1 pour beta).


    Cette méthode permet de faciliter les calculs, et donc d'éviter la bourde que vous avez probablement faite dans votre premier calcul (en redérivant je tombe sur )

    Bonne soirée !

  5. #4
    The_Anonymous

    Question Re : Domaine de définition d'une primitive

    Bonsoir,

    @gg0

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonsoir.

    Tout d'abord, ce n'est pas "la primitive", mais "les primitives" puisque par l'intermédiaire de C tu en donnes une infinité. Toujours parler au pluriel des primitives générales.

    Ensuite, c'est faux, et tu t'en es rendu compte. Puisque la fonction f est définie sauf en 0 et 1, il devrait y avoir une primitive même quand x et 1-x sont de signes contraires.
    En fait, pour une fonction continue sur des intervalles disjoints, il n'y a pas de définition unique d'une primitive globale. je vais d'abord régler le cas de ln, puis j'y reviendrai :
    Si U>0, une primitive de u'/u est ln(U); si U<0, on peut remarquer que -U>0 et que U'/U=(-U)'/(-U) a donc comme primitive particulière ln(-U). On résume ça généralement en disant qu'une primitive de U'/U est ln(|U|). MAIS :
    Si on est sur plusieurs intervalles, il n'y a aucune raison que les deux primitives dont on a besoin se coordonnent parfaitement pour la constante éventuelle. Par exemple pour 1/x, on peut avoir ln(x)+2 pour les positifs et ln(-x)+5 pour les négatifs; ce qui ne s'écrit pas sous la forme générale ln(|x|)+C puisque C n'est pas une valeur (2 parfois, 5 dans d'autres cas, ce n'est pas une valeur).
    mais en fait, comme on ne peut pas passer continument des négatifs aux positifs, un problème de primitives, donc de dérivation, ne se posera correctement que sur un seul des deux intervalles. On parle parfois de primitive de f sur l'intervalle xxx.
    Bonsoir,

    D'accord, je ferai attention à dire les primitives désormais Je comprends que est une constante donc qu'il y a plusieurs primitives (d'ailleurs l'intégrale représente l'ensemble de toutes les primitives d'une fonction non ?)

    Mais ensuite, suite à "Il n'y a pas de définition unique d'une primitive globale", je reste troublé... Peut-on dire qu'une primitive est différente suivant ?

    Pour ce qui est de , j'ai justement un exercice sur ce sujet. Donc je vous comprends pour .

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Très bizarre, ça ! D'où viendrait un x-1 à partir de x²+x ? C'est ce qu'on appelle trafiquer les calculs. Pour x<0 comme pour x>0 tu as la valeur de f(x) qui t'est donnée. Elle n'a pas à être changée, même si tu es dans ce cas tombé par hasard sur le bon résultat (vérifie).
    Oui, j'ai fait une faute de frappe : .

    Mais ce que je ne comprends pas, c'est si on considère une fonction définie sur , et qu'on trouve différente primitive sur différents intervalles qui, ensembles, restituent , que peut-on dire de la primitive de la fonction ? Comment l'exprime-t-on ?

    Comme dans la fonction , peut on dire qu'elle vaut argtanh ou argcoth suivant x ?

    @Elwyr

    Votre réponse a été la plus troublante que j'ai jamais pu lire (mais du coup aussi très intéressante). Premièrement, merci énormément pour cette méthode qui va en effet beaucoup plus vite!

    Je dis que votre réponse est troublante parce qu'après vérification, la primitive que j'ai trouvé personnellement est correcte (à moins que je sois un boulet) et la vôtre ... aussi.

    Pour détailler, voici les raisonnements des deux manières :

    Votre manière (je l'indique pour voir si j'ai bien compris) :

    Comme , alors . Cette primitive est définie sur .

    Je vérifie en faisant .

    Ma méthode :

    Je pose et . Je trouve que , donc en utilisant la composition que (Comme vous pouvez le voir beaucoup plus compliqué).

    Cette fois, le domaine de définition est , et je vérifie en faisant :

    .

    Ce qui me perturbe, c'est le fait que si on réunit les ensembles de définition des deux primitives trouvées, cela restitue le domaine de définition de .

    Mais alors comme dans mon deuxième exemple, peut-on dire que pour , on a :

    ?

    Ou alors il faut exprimer la primitive autrement ?

    En attente d'une réponse qui m'ouvriront les yeux ^^

    Cordialement

  6. #5
    gg0

    Re : Domaine de définition d'une primitive

    Bonjour.

    Mais ce que je ne comprends pas, c'est si on considère une fonction définie sur , et qu'on trouve différente primitive sur différents intervalles qui, ensembles, restituent , que peut-on dire de la (sic) primitive de la fonction ? Comment l'exprime-t-on ?

    Comme dans la fonction , peut on dire qu'elle vaut argtanh ou argcoth suivant x ?
    Ce qui t'empêche de te tranquilliser, c'est que tu veux absolument une expression unique d'une primitive donnée. Il n'y a pas de raison qu'une fonction soit donnée par une expression algébrique unique, ni même qu'elle soit donnée par un calcul avec les fonctions que tu connais. De façon simple, une fonction f de l'ensemble A dans l'ensemble B c'est une collection de couples (x,y) de AxB qui a la propriété que si (x,y) et (x,y') en fait partie, alors y=y'. x est un antécédent, y l'image de x, et on traduit simplement qu'un antécédent a une seule image. Donc la variété des fonctions, même des fonctions numériques est extrême.
    Par contre, le fait de travailler sur des intervalles différents peut poser des problèmes si on veut utiliser des primitives : Si tu sais que g'(x) = 1/x et que g(1)=0, tu sais que pour x>0, g(x)=ln(x). par contre, tu ne sais rien de g(x) pour x<0, seulement que globalement, il s'écrit ln(-x)+C; mais comme tu ne sais rien de C, tu ne sais pas combien vaut g(-3) par exemple.
    Ensuite, de nombreuses fonctions d'usage courant sont définies avec plusieurs expressions suivant les valeurs de l'antécédent : Fonction de Heaviside, signal carré, etc ...
    Enfin tranquillise toi : Pour intégrer, on ne travaille au départ que sur des intervalles où la fonction est toujours définie (avant de généraliser plus tard d'une façon tellement globale que tout ça est sans importance).

    Pour ton calcul faux, je n'ai jamais dit que le résultat était faux, seulement que tu racontais des bêtises.

    Enfin pour ta fonction, moi je ne m'embête pas, j'utilise ln(|U|)+C pour les primitives de U'/U, sans me poser de question sur les intervalles et l'écriture particulière. Que le C change d'un intervalle à l'autre ne me gêne pas plus que le fait qu'il change d'une primitive à l'autre.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Elwyr

    Re : Domaine de définition d'une primitive

    Bonjour,

    Il s'agissait alors sans doute d'une faute de frappe, dans votre premier message vous proposiez

    D'où ma remarque sur le "changement de signe" du ln, qui me surprenait (plus que de voir les expressions à l'intérieur du ln changer, il vaut mieux que tout cela reste positif).

    Soit dit en passant, les deux méthodes permettent de trouver des primitives sur n'importe quel intervalle (pour peu qu'on écrive que la primitive de la fonction inverse, c'est le ln de la valeur absolue, et pas simplement le ln).


    Sinon, oui, ma méthode est bien celle là. Pour la dérivation, j'utilise aussi une petite bricole : remarquer que permet souvent des calculs plus rapides et moins sujets à l'erreur.

    Bonne journée !

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