Trigonométrie

[invite7e34bcfc]

Bonjour,

Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1. Mais s'il est de rayon 2, le cos d'un angle de 0° sera 2 (je sais que normalement le cosinus est toujours compris entre -1 et 1) ?

Ce que je ne comprends pas, c'est que si par exemple, on prend un point d'abscisse 3 et d'ordonné 1, il n'est pas sur un cercle de rayon 1, donc le cosinus de Pi/6 par exemple ne sera pas V3/2 ? PLus généralement, je ne comprends pas pourquoi un point qui n'est pas situé sur un cercle de rayon 1 est toujours les mêmes valeurs pour le sinus et le cosinus d'un angle
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[PlaneteF]

Bonjour,

Lorsque l'on se pose des questions auquelles on ne trouve pas de réponse satisfaisante, dans ce cas un bon réflexe c'est de revenir aux définitions mêmes. Je suppose que l'on t'a présenté la trigo pour la première fois à l'aide du triangle rectangle. Et donc dans un tel triangle le cosinus angle non droit = (côté adjacent) / (hypothénuse).

Maintenant reprend tes questions en ayant en tête cette définition, et tu verras que tout deviendra limpide !

Cordialement

[invite7ff0b69f]

Bonjour,

Il s'agit d'une homothétie : un cercle de rayon 2 est un cercle de 2 fois un rayon 1. Les valeurs de cosinus, sinus et tangente sont des rapports entre le rayon, l'abscisse et l'ordonnée, qui est toujours le même, quel que soit la valeur du rayon.

Pour un point d'intersection entre le rayon et une droite à un angle de 30°(PI/6) par rapport à l'axe des abscisses,
sur un rayon de 1 :
R=1
x=0,866
y=0,5

sur un rayon de 2 :
R=2
x=1,732
y=1

La valeur de l'angle générant le point d'intersection est le même, quel que soit la dimension du rayon.

Puisque les valeurs trigonométriques sont déterminées par rapport à la valeur du rayon du cercle, le cercle trigonométrique de rayon 1, représente tous les cas de figure.

[invite7e34bcfc]

Et donc dans un tel triangle le cosinus angle non droit = (côté adjacent) / (hypothénuse)

Effectivement en reconsidérant ça, tout redevient limpide ! Mais je croyais que 1/2 etc sur le cercle trigonométrique en abscisse ça représentait des cm, mais ça représente juste les valeurs du cosinus en faite en radian? Parce que sur un rayon de cercle 2, quand la droite ayant un angle de Pi/6 croise la courbe et qu'on descend en traçant un trait jusqu'à l'axe des abscisses, on tombe sur (2V3)/2 cm, alors que le cosinus est de V3/2. J'espère que je ne me trompe pas et que j'ai réellement compris ..

Merci palscaltech pour tes explications, c'est maintenant clair pour l'utilisation du cercle trigonométrique !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7e34bcfc]

cosinus en faite en radian

Je me corrige : du cosinus sans valeur ( pas de cm ? )

[PlaneteF]

Parce que sur un rayon de cercle 2, quand la droite ayant un angle de Pi/6 croise la courbe et qu'on descend en traçant un trait jusqu'à l'axe des abscisses, on tombe sur (2V3)/2 cm, alors que le cosinus est de V3/2.

L’hypoténuse du triangle "de définition" du cosinus vaut 1 dans le cas d'un cercle de rayon 1 (cercle trigo), et vaut 2 dans le cas d'un cercle de rayon 2 ...

Donc on obtient bien le même résultat dans les 2 cas pour le cosinus.

[PlaneteF]

L’hypoténuse (...)

EDIT : "La longueur de l'hypoténuse (...)"

[invite7ff0b69f]

Je me corrige : du cosinus sans valeur ( pas de cm ? )

Bonjour,

Oui, tout à fait, les cosinus, sinus,tangente sont des rapports au rayon, donc sans unité.

x=Rcos a(alpha)
y=Rsin a
t=sin/cos ou y/x

Et sais-tu où se situe l'axe des tangentes par rapport au cercle trigonométrique ?

[invite7e34bcfc]

D'acc j'ai compris. Mais c'est quand même bizarre que le cosinus, quand il prend la valeur de 1/2 ou V3/2 se trouve exactement à 1/2 cm et V3/2 cm de l'origine sur l'axe des abscisses, on pourrait confondre les cosinus avec des valeurs en cm .. Alors que sur un cercle de 2 on voit bien que le cos, quand il prend la valeur de V3/2, il se trouve à V3 cm ce qui évite la confusion. A moins que l'axe des abscisses ne soit pas en cm mais on trace un cercle de rayon 1 donc entre l'origine et le cercle on a bien 1 cm.

Et sais-tu où se situe l'axe des tangentes par rapport au cercle trigonométrique ?

On trace la tangente au cercle et on obtient cet axe ?

[gg0]

Bonsoir.

Il y a quelque chose qui ne va pas dans ce que tu dis, et depuis le début, tu mélanges sans doute des choses :

c'est quand même bizarre que le cosinus, quand il prend la valeur de 1/2 ou V3/2 se trouve exactement à 1/2 cm et V3/2 cm de l'origine sur l'axe des abscisses

Le cosinus ne se "trouve" nulle part, c'est un nombre, pas un point. Plus gênant ici, l'évocation du cm est une grosse incompréhension de ta part, car le cercle trigonométrique n'est pas un dessin sur ta feuille, mais un objet abstrait : Un cercle de rayon 1 (*) de centre O, auquel on associe un repère orthonormé.
Donc si tu prends un cercle de rayon 2, ce n'est plus un cercle trigonométrique, et il est inutile de s'en servir en appliquant la définition du cosinus, puisqu'elle est définie sur le cercle trigo, pas sur celui-là.

J'ai l'impression que tu te tortures la "comprenette" pour pas grand chose. Au lieu de prendre les définitions comme elles sont.

Cordialement.

(*) 1, 1 abstrait, pas 1 cm ni 1 km ni 1 kg. L'unité de longueur non précisée.

[invite7e34bcfc]

J'ai bien fait d'en reparler puisqu'effectivement il restait encore des incompréhensions

Le cosinus ne se "trouve" nulle part, c'est un nombre, pas un point.

D'accord ! c'est juste que sur le cercle, on dirait qu'il forme un point.

1, 1 abstrait, pas 1 cm ni 1 km ni 1 kg

Aaaaaah OK ! Afin d'éviter encore les incompréhensions possibles : Le 1 représente quand même une longueur ? Cette longueur peut prendre toutes les valeurs sauf 0 ?

Et pourquoi on aurait pas pu définir un cercle trigo de rayon 2 ?

[invite7e34bcfc]

EDIT : Cette longueur peut prendre toutes les valeurs (2cm, 4m) sauf 0 ?

[gg0]

"t pourquoi on aurait pas pu définir un cercle trigo de rayon 2 ? "
On aurait pu !
C'est le propre de toutes les conventions d'être arbitraires. mais certaines sont plus simples que d'autres. ici, prendre le rayon égal à 1 permet de définir les abscisses curvilignes plus simplement, et de définir les fonctions trigonométriques simplement. D'ailleurs tu ne sembles pas avoir vu la définition du cosinus, sinon tu n'écrirais pas : "on dirait qu'il forme un point". Tu devrais peut-être commencer par là : trouver une définition précise de cos (pas un dessin, une définition en termes franco-mathématiques).
"Le 1 représente quand même une longueur ?" oui, mais une longueur sans unité, une distance dans le plan qui sert de référence. Et qui est bien une distance non nulle, la distance entre deux points distincts.

Cordialement.

NB : Je trouve très bizarre que tu écrives "sur le cercle, on dirait qu'il forme un point" à propos du cosinus. Soit tu t'exprimes de façon très malsaine en français, soit tu confonds différentes choses.

[invite51d17075]

le sinus, comme le cosinus est un rapport de distance, donc sans unité !
c'est un peu comme dire que si le rayon était plus grand alors PI aussi !!

petit croisement au passge:
cordialement ggo

[mécano41]

Bonjour à tous,

J'avais fait ceci sous EXCEL pour expliquer à quelqu'un...si cela peut t'aider...

Cordialement

[PlaneteF]

@mécano41 : Bonjour,

Waouh ! ... Tu excelles en assure, ... enfin j'voulais dire "tu assures en Excel"