Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

[Jujulive]

Bonsoir,

- Sujet :

L'objectif de mon exercice est ici de trouver les 3 derniers chiffres de l'écriture décimale : 2013^2013.

Le second objectif est de déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale 7^7^7^7^7^7^7

- Où j'en suis :

J'ai tenté quelque chose, mais je ne suis pas du tout sûr sur résultat :

On est dans la base décimale, donc je réalise la division euclidienne de 2013 par 10 avec les congruences :
2013 = 3 [10]
2013^2 = 9 [10]
2013^3 = 7 [10]
2013^4 = 1 [10]
Or, 2013 = 4*503+1
Donc, 2013^2013 = 2013*1^503 [10] = 2013 [10] = 3 [10]
J'en conclu que les trois derniers chiffres de 2013^2013 sont 0,1 et 3.

Pour le second exercice, j'ai procédé de la même manière en réalisant la division euclidienne de 7 par 10 à l'aide des congruences :
7 = 7 [10]
7^2 = 9 [10]
7^3 = 3 [10]
7^4 = 1 [10]
Donc, 7^7 = 3 [10] = 13 [10]
On trouve que les deux derniers chiffres de 7^7^7^7^7^7^7 sont 1 et 3.


Voici donc mes résultats :

- Sont-ils juste ?
- Comment puis-je bien le démontrer car j'ai l'impression qu'il manque quelque chose ?
- Est-ce assez bien justifié ?

Merci par avance pour votre aide

Cordialement
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[gg0]

Bonjour.

2013^2013 = 2013*1^503 [10] = 2013 [10] = 3 [10]
J'en conclu que les trois derniers chiffres de 2013^2013 sont 0,1 et 3.
Je comprends le 3, mais d'où sortent le 0 et le 1 ? Tu n'en as jamais parlé ?
En plus, c'est faux.

Pour le second exercice, il n'y a pas de raisonnement. Tu n'as considéré que 7⁷, pas le mombre proposé. Au fait, s'agit-il bien de 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) ?

Cordialement.

[Jujulive]

Merci pour ta réponse aussi rapide,
Pour 2013^2013, je trouve 2013^2013 = 2013 [10], voilà d où sortent mon 0 et 1. Mais tu dis que c'est faux, pourrais tu m'expliquer pourquoi et comment puis je y remédier ?

Pour la seconde question, oui, il s'agit bien de 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))).

Cordialement

[gg0]

2013^2013 = 2013 [10]=2113 [10]=2023 [10]=2003 [10]
les trois derniers chiffres sont-ils aussi 1,1,3 et 0,0,3 ?

Que faut-il faire pour avoir exactement les trois derniers chiffres (modulo 10, on n'a que le dernier) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jujulive]

Vu comme ça, c'est vrai que ma réflexion est totalement fausse.

Je ne vois pas comment trouver les trois derniers chiffres. A moins de faire 2013^2013 = 013 [10^3] car trouver les n derniers chiffres d'un nombre cela revient à réaliser la division euclidienne de ce nombre par 10^n ?

Pourrais tu m'apporter des éclaircissements concernant 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) ?

Cordialement

[Amanuensis]

Je ne vois pas comment trouver les trois derniers chiffres. A moins de faire 2013^2013 = 013 [10^3] car trouver les n derniers chiffres d'un nombre cela revient à réaliser la division euclidienne de ce nombre par 10^n ?

Correct.

Pour qu'on vous pose un tel exercice, j'imagine que vous avez appris ce qu'est la fonction indicatrice d'Euler et le rapport avec les puissances (théorème d'Euler)?

[Jujulive]

Salut Amanuensis,

Malheureusement, nous n'avons pas vu qu'est ce que la fonction indicatrice d'Euler ni le théorème. Pourrais m éclairer à propos de mes exercices ?

Cordialement

[danyvio]

Pour le 2, regarde combien vaut 7^7 modulo 100 et tu trouveras quelque chose d'intéressant.
Pour cela regarde successivement 7 7^2 7^3 etc... modulo 100

Pour le 1 même approche en utilisant modulo 1000 pour les puissances de 2013 (et plus simplement les puissances de 13 tu dois voir pourquoi...

[Amanuensis]

Malheureusement, nous n'avons pas vu qu'est ce que la fonction indicatrice d'Euler ni le théorème. Pourrais m éclairer à propos de mes exercices ?

De quels outils (théorèmes, ...) disposez-vous alors pour traiter quelque chose à la puissance 2013?

[Jujulive]

De quels outils (théorèmes, ...) disposez-vous alors pour traiter quelque chose à la puissance 2013?

En classe on a jamais résolu ce genre de probleme. On a vu la congruence mais en regardant autre part, je me suis rendu comptr que l on a pas vu le theoreme de bézout et de gauss. C est pour dire...

Cordialement

[Jujulive]

Pour le 2, regarde combien vaut 7^7 modulo 100 et tu trouveras quelque chose d'intéressant.
Pour cela regarde successivement 7 7^2 7^3 etc... modulo 100

Pour le 1 même approche en utilisant modulo 1000 pour les puissances de 2013 (et plus simplement les puissances de 13 tu dois voir pourquoi...

Slt danyvio,

En suivant tes indications, pour le premier je trouve un cycle de 4 car de 13^1 à 13^4 je trouve les derniers chiffres qui reapparraissent de maniere recurente : 3, 9, 7 et 1. Après je ne comprends pas ou tu veux en venir.
Pour le second, j ai fait la même chose, et j ai trouvé un cycle de 4 avec le dernier chiffre qui revient de façon cyclique : 7, 9, 3 et 1. Pour 7^7 = 7 [100].

Après je ne sais pas quoi faire ni ou cela doit me mener, surtout si je n ai pas tous les outils en main. Serait-il possible de détailler un peu plus ?

Cordialement

[gg0]

Donc avec des congruences, tu dois pouvoir simplifier facilement le problème.
Une indication : regarde ce que ça donne, modulo 1000, pour 2013¹¹ puis pour 2013¹⁰⁰.

Bon travail !

[Jujulive]

Je trouve 2013^11 = 37 [1000] et 2013^100 = 1 [1000]

Je ne comprends où on veut en venir ?

Cordialement

[Amanuensis]

Pour 7^7 = 7 [100].

Je trouve 7^7=823543, ce qui fait pas 7 modulo 100

(on peut de tête calculer le modulo 10: 7x7=9, 9x9 = 81, 1x9=9, 9x7=63 -> 3)

[Jujulive]

Oh la la... J ai fait n importe quoi dsl.

Mais je n ai tjrs pas compris comment résoudre mes exercices.

Je commence à desespérer...


Cordialement

[gg0]

Je trouve 2013^11 = 37 [1000] et 2013^100 = 1 [1000]

Je ne comprends où on veut en venir ?

Cordialement

ben ...

avec 2013^100 = 1 [1000], tu peux facilement trouver 2013^2000 [1000] et tu ne seras pas loin !

[Jujulive]

2013^2000 = 1 [1000] ?? Je suis perdu. Ce serait cool de reprendre tout depuis le début. On parle du théorème d euler puis plus rien. On passe de la question 2 à 1 puis 1 à 2. Je ne sais plus oú j en suis malgré mes efforts de compréhension.

Cordialement

[gg0]

Bien sûr,

tu as posé deux questions à la fois !
Mais rien ne permet de les confondre ! Quant aux théorèmes que tu ne connais pas, inutile d'en reparler.
C'est bizarre, pour 2013²⁰¹³ tu as été capable de travailler modulo 10 et tu ne saurais plus faire modulo 1000 ?

Reprends la question 1, tu as déjà ce rfenseignement : 2013^2000 = 1 [1000]
Sauf que tu devrais en être sure, si tu sais quelle règle tu as appliquée. Si tu ne sais pas, revois les règles du cours.

Cordialement.

[Jujulive]

Ok, j'ai tout repris à zero.

2013^2013 = 2013^2000 x 2013^13

Or 2013^2000 = 1 [1000]
2013^13 = 253 [1000]

Donc 2013^2013 = 253 [1000]

Si c'est cela, je ne savais pas que le reste de cette division désigne les 3 derniers chiffres de 2013^2013. C'est pour cela que je ne comprenais pas. Sinon, la justification est-elle bonne (en supposant que je détaille plus les étapes) ? Si oui, je souhaiterais passer urgemment à mon second problème.

Je souhaites trouver les 2 derniers chiffres de (7^7)^7)^7)^7)^7)^7). Je n'ai pas compris où voulais en venir le premier indice. Pourriez vous m'éclairer ?

Cordialement

PS : mon exercice m'a été communiqué mardi et à rendre pour la fin de semaine. Je ferais tout mon possible pour répondre le plus vite possible.

[Jujulive]

Re

J'ai peut-être trouvé quelque chose :

7^7 = 43 [100]

Donc

7^7^7 = 43^7 = 7 [100]

7^7^7^7 = 7^7 = 43 [100]

7^7^7^7^7 = 43^7 = 7 [100]

7^7^7^7^7^7 = 7^7 = 43 [100]

7^7^7^7^7^7^7 = 43^7 = 7 [100]

J'en conclu que les deux derniers chiffres sont 0 et 7. Est-ce juste ? Si non, comment puis-je corriger mon erreur ?

Cordialement

[gg0]

Pour le premier exercice, c'est bon. On peut cependant remarquer qu'on peut se ramener à des puissances de 13, puique 2013 = 13 mod 1000.

"je ne savais pas que le reste de cette division désigne les 3 derniers chiffres"
Tu as pourtant trouvé le dernier chiffre en calculant modulo 10. Tu aurais pu te poser la question au départ !!!

Pour le deuxième exercice, tu as travaillé avec (((((7^7)^7)^7)^7)^7)7=7^(7*7* 7*7*7*7)=7^117649, pas avec ce que tu indiquais quand je t'ai posé la question.

Cordialement.

[Jujulive]

Voici ci joint l'énoncé avec le bon nombre de 7 car je crois que je me suis embrouillé avec toutes ses parenthèses.

Ma réponse est fausse pour le deuxième exo ?

Cordialement

[Amanuensis]

La question n'est pas le nombre de 7, mais s'il faut lire 7^7^7 comme 7^(7^7) ou (7^7)^7, les deux étant différents.

[Jujulive]

Il faut lire (7^7)^7, comme sur l'image ci jointe

Cordialement

[gg0]

Ah non !

C'est 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))). On en a parlé aux messages 2 et 3, et ton énoncé le confirme.

Règle habituelle : On calcule la parenthèse la plus intérieure, puis on remplace.

Cordialement.

NB : Avec seulement des congruences, je doute ...

[Amanuensis]

L'ordre de 7 modulo 100 étant très petit, le problème est assez simple.

[topmath]

Bonjour tout le monde

Ah non !

C'est 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))). On en a parlé aux messages 2 et 3, et ton énoncé le confirme.

Règle habituelle : On calcule la parenthèse la plus intérieure, puis on remplace.

Cordialement.

NB : Avec seulement des congruences, je doute ...

"On calcule la parenthèse" Bizarre comme vocabulaire mathématique !!!

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Il est assez rapide de vérifier que :




(il suffit de multiplier 43 par 7 pour le montrer)

Autrement dit


Le résultat ne dépend donc que du reste de la puissance modulo 4, or la puissance de 7 que vous devez étudier est une puissance de 7, il est assez rapide de vérifier que :



(il suffit de multiplier 3 par 7 pour le montrer)

Autrement dit


Le résultat ne dépend donc que du reste de la puissance modulo 2, or la puissance de 7 que vous devez étudier est une puissance de 7, donc ...

Je vous laisse finir.

[Jujulive]

Bonsoir,

Malheureusement je ne vois pas ou tu veux en venir Médiat. Ce serait sympa de reformuler ce que tu as voulu m'expliquer.

Est-ce que les 2 dernières unités de mon problèmes sont 0 et 7 ? Si oui, j'ai trouvé la solution. Si non, pourriez vous m'expliquer d'une autre façon ?

Cordialement

[Médiat]

Bonsoir,

Non les 2 dernier chiffres ne sont pas 0 et 7, quant aux explications, j'ai déjà tout écrit, maintenant, c'est à vous de travailler (ce qui ne vous interdit pas de poser une question précise, sur un point précis).