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Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre



  1. #1
    Jujulive

    Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bonsoir,

    - Sujet :

    L'objectif de mon exercice est ici de trouver les 3 derniers chiffres de l'écriture décimale : 2013^2013.

    Le second objectif est de déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale 7^7^7^7^7^7^7

    - Où j'en suis :

    J'ai tenté quelque chose, mais je ne suis pas du tout sûr sur résultat :

    On est dans la base décimale, donc je réalise la division euclidienne de 2013 par 10 avec les congruences :
    2013 = 3 [10]
    2013^2 = 9 [10]
    2013^3 = 7 [10]
    2013^4 = 1 [10]
    Or, 2013 = 4*503+1
    Donc, 2013^2013 = 2013*1^503 [10] = 2013 [10] = 3 [10]
    J'en conclu que les trois derniers chiffres de 2013^2013 sont 0,1 et 3.

    Pour le second exercice, j'ai procédé de la même manière en réalisant la division euclidienne de 7 par 10 à l'aide des congruences :
    7 = 7 [10]
    7^2 = 9 [10]
    7^3 = 3 [10]
    7^4 = 1 [10]
    Donc, 7^7 = 3 [10] = 13 [10]
    On trouve que les deux derniers chiffres de 7^7^7^7^7^7^7 sont 1 et 3.


    Voici donc mes résultats :

    - Sont-ils juste ?
    - Comment puis-je bien le démontrer car j'ai l'impression qu'il manque quelque chose ?
    - Est-ce assez bien justifié ?

    Merci par avance pour votre aide

    Cordialement

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bonjour.

    2013^2013 = 2013*1^503 [10] = 2013 [10] = 3 [10]
    J'en conclu que les trois derniers chiffres de 2013^2013 sont 0,1 et 3.
    Je comprends le 3, mais d'où sortent le 0 et le 1 ? Tu n'en as jamais parlé ?
    En plus, c'est faux.

    Pour le second exercice, il n'y a pas de raisonnement. Tu n'as considéré que 77, pas le mombre proposé. Au fait, s'agit-il bien de 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) ?

    Cordialement.

  4. #3
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Merci pour ta réponse aussi rapide,
    Pour 2013^2013, je trouve 2013^2013 = 2013 [10], voilà d où sortent mon 0 et 1. Mais tu dis que c'est faux, pourrais tu m'expliquer pourquoi et comment puis je y remédier ?

    Pour la seconde question, oui, il s'agit bien de 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))).

    Cordialement

  5. #4
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    2013^2013 = 2013 [10]=2113 [10]=2023 [10]=2003 [10]
    les trois derniers chiffres sont-ils aussi 1,1,3 et 0,0,3 ?

    Que faut-il faire pour avoir exactement les trois derniers chiffres (modulo 10, on n'a que le dernier) ?

  6. #5
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Vu comme ça, c'est vrai que ma réflexion est totalement fausse.

    Je ne vois pas comment trouver les trois derniers chiffres. A moins de faire 2013^2013 = 013 [10^3] car trouver les n derniers chiffres d'un nombre cela revient à réaliser la division euclidienne de ce nombre par 10^n ?

    Pourrais tu m'apporter des éclaircissements concernant 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))) ?

    Cordialement

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Amanuensis

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Citation Envoyé par Jujulive Voir le message
    Je ne vois pas comment trouver les trois derniers chiffres. A moins de faire 2013^2013 = 013 [10^3] car trouver les n derniers chiffres d'un nombre cela revient à réaliser la division euclidienne de ce nombre par 10^n ?
    Correct.

    Pour qu'on vous pose un tel exercice, j'imagine que vous avez appris ce qu'est la fonction indicatrice d'Euler et le rapport avec les puissances (théorème d'Euler)?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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  10. #7
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Salut Amanuensis,

    Malheureusement, nous n'avons pas vu qu'est ce que la fonction indicatrice d'Euler ni le théorème. Pourrais m éclairer à propos de mes exercices ?

    Cordialement

  11. #8
    danyvio

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Pour le 2, regarde combien vaut 7^7 modulo 100 et tu trouveras quelque chose d'intéressant.
    Pour cela regarde successivement 7 7^2 7^3 etc... modulo 100

    Pour le 1 même approche en utilisant modulo 1000 pour les puissances de 2013 (et plus simplement les puissances de 13 tu dois voir pourquoi...
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  12. #9
    Amanuensis

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Citation Envoyé par Jujulive Voir le message
    Malheureusement, nous n'avons pas vu qu'est ce que la fonction indicatrice d'Euler ni le théorème. Pourrais m éclairer à propos de mes exercices ?
    De quels outils (théorèmes, ...) disposez-vous alors pour traiter quelque chose à la puissance 2013?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #10
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    De quels outils (théorèmes, ...) disposez-vous alors pour traiter quelque chose à la puissance 2013?
    En classe on a jamais résolu ce genre de probleme. On a vu la congruence mais en regardant autre part, je me suis rendu comptr que l on a pas vu le theoreme de bézout et de gauss. C est pour dire...

    Cordialement

  14. #11
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Pour le 2, regarde combien vaut 7^7 modulo 100 et tu trouveras quelque chose d'intéressant.
    Pour cela regarde successivement 7 7^2 7^3 etc... modulo 100

    Pour le 1 même approche en utilisant modulo 1000 pour les puissances de 2013 (et plus simplement les puissances de 13 tu dois voir pourquoi...
    Slt danyvio,

    En suivant tes indications, pour le premier je trouve un cycle de 4 car de 13^1 à 13^4 je trouve les derniers chiffres qui reapparraissent de maniere recurente : 3, 9, 7 et 1. Après je ne comprends pas ou tu veux en venir.
    Pour le second, j ai fait la même chose, et j ai trouvé un cycle de 4 avec le dernier chiffre qui revient de façon cyclique : 7, 9, 3 et 1. Pour 7^7 = 7 [100].

    Après je ne sais pas quoi faire ni ou cela doit me mener, surtout si je n ai pas tous les outils en main. Serait-il possible de détailler un peu plus ?

    Cordialement

  15. #12
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Donc avec des congruences, tu dois pouvoir simplifier facilement le problème.
    Une indication : regarde ce que ça donne, modulo 1000, pour 201311 puis pour 2013100.

    Bon travail !

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  17. #13
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Je trouve 2013^11 = 37 [1000] et 2013^100 = 1 [1000]

    Je ne comprends où on veut en venir ?

    Cordialement

  18. #14
    Amanuensis

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Citation Envoyé par Jujulive Voir le message
    Pour 7^7 = 7 [100].
    Je trouve 7^7=823543, ce qui fait pas 7 modulo 100

    (on peut de tête calculer le modulo 10: 7x7=9, 9x9 = 81, 1x9=9, 9x7=63 -> 3)
    Dernière modification par Amanuensis ; 13/11/2013 à 10h16.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  19. #15
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Oh la la... J ai fait n importe quoi dsl.

    Mais je n ai tjrs pas compris comment résoudre mes exercices.

    Je commence à desespérer...


    Cordialement

  20. #16
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Citation Envoyé par Jujulive Voir le message
    Je trouve 2013^11 = 37 [1000] et 2013^100 = 1 [1000]

    Je ne comprends où on veut en venir ?

    Cordialement
    ben ...

    avec 2013^100 = 1 [1000], tu peux facilement trouver 2013^2000 [1000] et tu ne seras pas loin !

  21. #17
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    2013^2000 = 1 [1000] ?? Je suis perdu. Ce serait cool de reprendre tout depuis le début. On parle du théorème d euler puis plus rien. On passe de la question 2 à 1 puis 1 à 2. Je ne sais plus oú j en suis malgré mes efforts de compréhension.

    Cordialement

  22. #18
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bien sûr,

    tu as posé deux questions à la fois !
    Mais rien ne permet de les confondre ! Quant aux théorèmes que tu ne connais pas, inutile d'en reparler.
    C'est bizarre, pour 20132013 tu as été capable de travailler modulo 10 et tu ne saurais plus faire modulo 1000 ?

    Reprends la question 1, tu as déjà ce rfenseignement : 2013^2000 = 1 [1000]
    Sauf que tu devrais en être sure, si tu sais quelle règle tu as appliquée. Si tu ne sais pas, revois les règles du cours.

    Cordialement.

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  24. #19
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Ok, j'ai tout repris à zero.

    2013^2013 = 2013^2000 x 2013^13

    Or 2013^2000 = 1 [1000]
    2013^13 = 253 [1000]

    Donc 2013^2013 = 253 [1000]

    Si c'est cela, je ne savais pas que le reste de cette division désigne les 3 derniers chiffres de 2013^2013. C'est pour cela que je ne comprenais pas. Sinon, la justification est-elle bonne (en supposant que je détaille plus les étapes) ? Si oui, je souhaiterais passer urgemment à mon second problème.

    Je souhaites trouver les 2 derniers chiffres de (7^7)^7)^7)^7)^7)^7). Je n'ai pas compris où voulais en venir le premier indice. Pourriez vous m'éclairer ?

    Cordialement

    PS : mon exercice m'a été communiqué mardi et à rendre pour la fin de semaine. Je ferais tout mon possible pour répondre le plus vite possible.

  25. #20
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Re

    J'ai peut-être trouvé quelque chose :

    7^7 = 43 [100]

    Donc

    7^7^7 = 43^7 = 7 [100]

    7^7^7^7 = 7^7 = 43 [100]

    7^7^7^7^7 = 43^7 = 7 [100]

    7^7^7^7^7^7 = 7^7 = 43 [100]

    7^7^7^7^7^7^7 = 43^7 = 7 [100]

    J'en conclu que les deux derniers chiffres sont 0 et 7. Est-ce juste ? Si non, comment puis-je corriger mon erreur ?

    Cordialement

  26. #21
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Pour le premier exercice, c'est bon. On peut cependant remarquer qu'on peut se ramener à des puissances de 13, puique 2013 = 13 mod 1000.

    "je ne savais pas que le reste de cette division désigne les 3 derniers chiffres"
    Tu as pourtant trouvé le dernier chiffre en calculant modulo 10. Tu aurais pu te poser la question au départ !!!

    Pour le deuxième exercice, tu as travaillé avec (((((7^7)^7)^7)^7)^7)7=7^(7*7* 7*7*7*7)=7^117649, pas avec ce que tu indiquais quand je t'ai posé la question.

    Cordialement.

  27. #22
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Voici ci joint l'énoncé avec le bon nombre de 7 car je crois que je me suis embrouillé avec toutes ses parenthèses.

    Ma réponse est fausse pour le deuxième exo ?

    Cordialement
    Images attachées Images attachées

  28. #23
    Amanuensis

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    La question n'est pas le nombre de 7, mais s'il faut lire 7^7^7 comme 7^(7^7) ou (7^7)^7, les deux étant différents.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  29. #24
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Il faut lire (7^7)^7, comme sur l'image ci jointe

    Cordialement

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  31. #25
    gg0

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Ah non !

    C'est 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))). On en a parlé aux messages 2 et 3, et ton énoncé le confirme.

    Règle habituelle : On calcule la parenthèse la plus intérieure, puis on remplace.

    Cordialement.

    NB : Avec seulement des congruences, je doute ...

  32. #26
    Amanuensis

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    L'ordre de 7 modulo 100 étant très petit, le problème est assez simple.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  33. #27
    topmath

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bonjour tout le monde
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ah non !

    C'est 7^(7^(7^(7^(7^(7^7))))). On en a parlé aux messages 2 et 3, et ton énoncé le confirme.

    Règle habituelle : On calcule la parenthèse la plus intérieure, puis on remplace.

    Cordialement.

    NB : Avec seulement des congruences, je doute ...
    "On calcule la parenthèse" Bizarre comme vocabulaire mathématique !!!

    Cordialement
    Dernière modification par topmath ; 14/11/2013 à 11h30.

  34. #28
    Médiat

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bonjour,

    Il est assez rapide de vérifier que :




    (il suffit de multiplier 43 par 7 pour le montrer)

    Autrement dit


    Le résultat ne dépend donc que du reste de la puissance modulo 4, or la puissance de 7 que vous devez étudier est une puissance de 7, il est assez rapide de vérifier que :



    (il suffit de multiplier 3 par 7 pour le montrer)

    Autrement dit


    Le résultat ne dépend donc que du reste de la puissance modulo 2, or la puissance de 7 que vous devez étudier est une puissance de 7, donc ...

    Je vous laisse finir.
    Dernière modification par Médiat ; 14/11/2013 à 11h46.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  35. #29
    Jujulive

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bonsoir,

    Malheureusement je ne vois pas ou tu veux en venir Médiat. Ce serait sympa de reformuler ce que tu as voulu m'expliquer.

    Est-ce que les 2 dernières unités de mon problèmes sont 0 et 7 ? Si oui, j'ai trouvé la solution. Si non, pourriez vous m'expliquer d'une autre façon ?

    Cordialement

  36. #30
    Médiat

    Re : Arithmétique : Trouver les dernières unités d'un grand nombre

    Bonsoir,

    Non les 2 dernier chiffres ne sont pas 0 et 7, quant aux explications, j'ai déjà tout écrit, maintenant, c'est à vous de travailler (ce qui ne vous interdit pas de poser une question précise, sur un point précis).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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