Une relation fonctionnelle

[jordan43]

Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice qui me paraît très compliqué malgré le fait que je sois plutôt bon dans cette matière.
Pourriez vous me mettre sur la voie s'il vous plait

On admet les résultats suivants:
- il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle que f'=f et f(0)=1. cette fonction est notée f(x)=exp(x)
- il existe une unique fonction g dérivable et strictement positive sur R telle que g'=-g et g(0)=1. cette fonction est notée g(x)=exp(-x)

Q est une fonction définie et dérivable sur R telle que:
pour tout nombre x, [Q'(x)]²-[Q(x)]²=1;
Q'(0)=1
Q' est dérivable sur R

1)a) Démontrez que Q(0)=0 et que pour tout nombre x, Q'(x) différent de 0
b) Démontrez que pour tout nombre x, Q''(x)=Q(x)
2)On pose u=Q'+Q et v=Q'-Q
a) Démontrez que u(0)=v(0)=1
b) Démontrez que u'=u et v'=-v
3)Déduisez en l'expression de u(x) et de v(x) pour tout nombre x. Quelle est alors l'expression de Q(x)?
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Où sont exactement tes problèmes ? Qu'as-tu réussi à faire ? La question 1)a) pour démarrer est très facile.

Cordialement

[jordan43]

Bonsoir,

D'abord merci pour votre aide.

1a, j'ai isolé Q(x), j'ai remplacé x par 0 et je me suis retrouvé avec V(1^2-1) donc =0.
Ensuite pour demontrer que Q' est différent de 0 je n'en ai aucune idée.

1b: j'ai dérivé q'(x)^2-Q(x)^2 = 1
Et j'ai pu simplifier par Q'(x) car il est différent de 0.

2a.
Je crois qu'il faut justifier le fait que u(0)=1 et de même pour v(0) mais je ne vois pas comment il faut faire. (Est ce vraiment une démonstration ou remplacer les valeurs suffit ?)

2b. J'ai dérivé u et v et grâce à la 1b j'ai trouvé le bon résultat. (Est ce normal qu'en deux lignes chaque question est faite ?

3. Pour cette question je cherche la solution. Je pense isolé Q et remplacer par les valeurs...

[PlaneteF]

1a, j'ai isolé Q(x), j'ai remplacé x par 0 et je me suis retrouvé avec V(1^2-1) donc =0.

Il faut faire attention en prenant la racine carrée comme tu le fais car tu ne connais pas à priori le signe de Q(0). Pas d'incidence ici car le résultat est 0, mais il est préférable en remplacer x par 0 dans l'équation, de noter que [Q(0)]²=0 , et donc Q(0)=0

Ensuite pour demontrer que Q' est différent de 0 je n'en ai aucune idée.

[Q'(x)]² = 1+[Q(x)]² donc la conclusion est immédiate.

2a.
Je crois qu'il faut justifier le fait que u(0)=1 et de même pour v(0) mais je ne vois pas comment il faut faire. (Est ce vraiment une démonstration ou remplacer les valeurs suffit ?)

Etrange ta question ?! --> Remplacer par les valeurs constitue bien une démonstration.

2b. J'ai dérivé u et v et grâce à la 1b j'ai trouvé le bon résultat. (Est ce normal qu'en deux lignes chaque question est faite ?

Oui c'est normal car contrairement à ce que tu dis dans ton message d'origine, cet exercice est très simple

3. Pour cette question je cherche la solution. Je pense isolé Q et remplacer par les valeurs...

Vouloir isoler Q ?! ... Mais il y a Q' !! ... Et puis remplacer par quelles valeurs ??

Relis attentivement le préambule de ton énoncé !


Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]