Bonjour à tous,
Je bloque sur un exercice qui me paraît très compliqué malgré le fait que je sois plutôt bon dans cette matière.
Pourriez vous me mettre sur la voie s'il vous plait
On admet les résultats suivants:
- il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur R telle que f'=f et f(0)=1. cette fonction est notée f(x)=exp(x)
- il existe une unique fonction g dérivable et strictement positive sur R telle que g'=-g et g(0)=1. cette fonction est notée g(x)=exp(-x)
Q est une fonction définie et dérivable sur R telle que:
pour tout nombre x, [Q'(x)]²-[Q(x)]²=1;
Q'(0)=1
Q' est dérivable sur R
1)a) Démontrez que Q(0)=0 et que pour tout nombre x, Q'(x) différent de 0
b) Démontrez que pour tout nombre x, Q''(x)=Q(x)
2)On pose u=Q'+Q et v=Q'-Q
a) Démontrez que u(0)=v(0)=1
b) Démontrez que u'=u et v'=-v
3)Déduisez en l'expression de u(x) et de v(x) pour tout nombre x. Quelle est alors l'expression de Q(x)?
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