Fonctions, Tangentes et limites

[invite6b8f5c24]

Bonjour je suis en en Term S, notre prof de maths nous a donné ce dm qui m'a bloqué à un certain point, voilà l'énoncé:

f(x)= -x^3 + x^2 + 5x +4

1) Etudes des variations de la fonctions
2)Résolution de f(x)=0
3)Soit T la tangente à Cf au point A d'abscisse xA=2
a)Trouver l'équation de T
b)Position de T par rapport à Cf
c)Montrer qu'il existe un point B de Cf où la tangente T' est parallèle à T
4)a)Montrer que pour tout x supérieur ou égal à 0 il existe une fonction affine U tels que f(x) inférieure ou égale à U(x)
En déduire lim(+ infini) (fx)

b)Montrer que pour tout x inférieure ou égale à 0 il existe une fonction affine V+q tels que V(x) inférieure ou égale à f(x). En déduire lim(-infini) f(x)

En fait j'ai réussis le début mais je suis bloqué à la 3b), j'ai fais Cf-T (T= -3x+16 d'après mon calcul à la 3a) ) pour étudier la position de T par rapport à Cf et suivant le signe j'en aurais déduis la position mais je suis tombé sur -x^3 +x^2 +8x -12 et je sais par dans quelle direction aller maintenant. Donc voilà j'espère que vous pourrez m'indiquer la marche à suivre ou me donner des conseils merci d'avance!
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[acx01b]

c'est tordu mais -x^3 +x^2 +8x -12 < -x^3 +x^2 +8x -8
dont le signe est facile à analyser

le méthode plus générale mais aussi plus laborieuse c'est de faire le tableau de variation de -x^3 +x^2 +8x -12

[invite6b8f5c24]

Vous sortez d'où -x^3 + x^2 + 8x -8 ?

Ah d'accord, et avec le tableau de variations je pourrai dire quand -x^3 + x^2 +8x -12 est positif et donc la position de T par rapport à Cf.

[acx01b]

come on !

j'ai juste pris un polynôme facile à factoriser pas loin de ton polynôme

il faut bien que tu remarque que -x^3 ça implique qu'en +infini il est négatif, et ce que tu espères c'est dire que -x^3 + x^2 +8x -12 est de même signe sur [2;+infini[

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonsoir à tous le polynôme -x^3 + x^2 +8x -12 admet une racine double évidente en x=2 ce qui peut laisser factoriser ce dernier facilement et par conséquent déterminé la troisième racine restante .

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Une explication à ce que dit Topmath (qui est très juste) : L'équation égalant la fonction de la courbe à la fonction de la tangente a comme racine évidente x=2 puisque les deux valent l'ordonnée de A pour x=2. On pourrait ici se contenter de cela.
Mais la tangente est la position limite des sécantes, et les sécantes ont au moins 2 valeurs pour lesquelles l'égalité est vérifiée, donc avec les sécantes il y a deux solutions à l'équation, qui se confondent en une seule (donc racine double).

Cordialement.

[invite6b8f5c24]

Bonsoir, Oui j'ai bien compris que -x^3 +x^2 +8x -12 doit etre négatif sur {2;+infini} mais en quoi possède -t-il un double racine évidente en x=2 ??

[invite6b8f5c24]

Donc si j'ai bien compris la première solution est 2, mais comment trouver cette double racine car elle ne m'apparait pas évidente

[gg0]

S'il y a une racine double 2, on peut factoriser par (x-2)². Ce qui se fait de façon rapide en cherchant par quoi multiplier (x-2)² pour obtenir -x^3 +x^2 +8x -12.
Et on trouve que -x^3 +x^2 +8x -12 est même négatif sur [-3, +infini[

[invite6b8f5c24]

Ca y est j'ai réussis à factoriser mais pas avec (x-2)^2 mais j'ai : (-x+2)(x-2)(x+3)
Donc j'ai la racine double qui est 2 et la racine -3 maintenant, j'ai pus faire le tableau de signes et donc cf<T pour x supérieur à 3.
J'ai également résolus la 3c et je trouve T' est la tangent du point B d'abscisse x= -4/3.
Merci de vos conseils.
Mais pour la 4a) si je prends un exemple d'une fonction affine quelconque supérieur ou égal à f(x) ça suffit?

[gg0]

Un classique de collège : -x+2=-(x-2)
Donc (-x+2)(x-2)(x+3)=-(x-2)²(x+3)=(x-2)²(-x-3).

Sinon, on veut -x^3 +x^2 +8x -12 = (x-2)²(??)=(x²-4x+4)(??)
Pour obtenir le -x^3 en développant le produit, le mieux est d'avoir un -x dans la parenthèse, qui multipliera le x². Et pour obtenir -12, multiplier le +4 par -3 conviendrait. On remplace ?? par -x-3, on vérifie et miracle ! ça marche !

Pour la 4, je ne comprends pas trop cette idée de fonction affine. D'autant que la fonction affine semble dépendre de x ???
Est-ce que l'énoncé est exactement celui que tu as écrit ? Car alors, avec des fonctions affines croissantes, on ne prouve rien sur la limite.

[invite6b8f5c24]

Oui il n'y a que ça, notre prof nous a seulement donnait comme indice que l'on pouvait se référer au cours sur les suites. Mais grâce au cours je pense que je pourrai déterminer la limite de f(x) par comparaison avec U(x) mais il faudrait que je trouve U(x)...
Mais si je prend U(x)= -3x+16 ça serait bon non? Car comme vus au question précédente -3x+16 est supérieur ou égal à f(x) pour x supérieur ou égal à 0

[acx01b]

pour la dernière question tu devras donner un minorant de sur
(n'importe quel minorant, -50000 par exemple mais il faut que prouves que c'est un minorant)

[invite6b8f5c24]

En recopiant l'énoncé j'ai fais une erreur de frappe pardon, pur la 4a) c'est pas lim(+infini) mais lim de f(x) avec x tend vers l'infini. et pour la 4b) c'est donc lim de f(x) avec x tend vers - l'infini