Bonjour,
Cela fait un bon moment que je galère sur un exercice d'algorithmique et j'ai vraiment besoin de vos lanternes, voici l'énoncé et mes traces de recherches:
On considère l'intégrale K= 0 1 1/( (1+x2)) dx
et la fonction f définie sur [0;1] par f(x)=1/((1+x2))
1. a. Étudier le sens de variation de f sur [0;1]
---> j'ai dérivé f et je trouve f'(x)=-x/((1+x2))3
f'(x)0 pour tout réel x0
On en déduit que f est décroissante sur [0;1]
b. Interpréter graphiquement K.
---> c'est l'aire de la partie du plan limitée par Cf, Oy, Ox et la droite d'équation x=1
2. Pour approcher K, on subdivise [0;1] en n intervalles de même longueur, n entier, n2.
a. Justifier que pour tout intervalle [k/n; (k+1)/n], 0kn-1, on a:
(1/n) f((k+1)/n)k/n(k+1)/nf(x)dx(1/n) f(k/n).
---> l'intervalle [k\n; (k+1)/n] est compris dans l'intervalle [0;1] et on sait que f est positive sur donc:
k/nx(k+1)/n
On sait que f est décroissante sur [0;1] alors
f((k+1)/n)f(x)f(k/n)
alors k/n(k+1)/nf((k+1)/n)dxk/n(k+1)/nf(x)dxk/n(k+1)/n f(k/n)dx
alors ((k+1)/n - k/n)f((k+1)/n) k/n(k+1)/nf(x)dx((k+1)/n - k/n) f(k/n)
c'est-à-dire (1/n)f((k+1)/n)k/n(k+1)/n f(x)dx (1/n) f(k/n)
Interpréter graphiquement en terme d'aires:
---> La valeur de l'aire de la partie du plan comprise entre Cf, Ox et les droites d'équations x=k/n et x=(k+1)/n est comprise entre l'aire du rectangle sous Cf et l'aire du rectangle au dessus de Cf, les deux rectangles ayant pour base 1/n et pour hauteurs respectives f((k+1)/n) et f(k/n)
b. En déduire un encadrement de K.
---> énorme doute:
j'ai fait une relation de Chasles géante, K=01f(x)dx=0k/nf(x)dx + k/n(k+1)/n f(x)dx + (k+1)/n1 f(x)dx
j'ai trouvé trois encadrements et je les ai additionné et j'ai trouvé un truc affreux:
(k/n)f(0)+(1/n)f(k/n)+((n-k+1)/n)f((k+1)/n) K (k/n)f(k/n)+(1/n)f((k+1)/n)+((n-k+1)/n)f(1)
je doute que ça soit bon mais j'ai tenté et voilà! Avec un encadrement comme ça je peux pas faire le reste de l'exercice (je crois, intuitivement, qu'il fallait trouver une somme plus "jolie" avec un sigma mais j'arrive pas à les factoriser avec 1/n ça donne n'importe quoi) je vous donne la suite de l'exercice:
c. Ecrire un algorithme qui demande la valeur de n et affiche l'encadrement de K ainsi obtenu.
3. Pour approcher K, on subdivise toujours [0;1] en n intervalles [k/n;(k+1)/n], 0kn-1, on approche la courbe de f par le segment de droite ayant pour extrémités les points Ak(k/n;f(k/n)) et Ak+1
a. Illustrer à main levée ce procédé pour n=4.
b. Écrire un algorithmique qui demande une valeur de n et affiche l'approximation ainsi obtenue pour K.
c. Quels résultats fournissent les deux algorithmes pour n=50?
4. Soit g la fonction définie sur [0;1] par g(x)=ln(x+(1+x2)).
Calculer g'(x), puis K.
Comparer avec les résultats obtenus en 3.c.
J'ai n'ai réussi à faire qu'une petite moitié (relativement plus simple) de cet exercice, pour le premier algorithme j'ai pensé à la méthode Riemman (pardon pour l'orthographe) mais j'ai pas de somme de rectangles dans l'encadrement de K donc je sais pas du tout comment faire!
Je supplie de l'aide pour le 2.b et le 2.c pour que je puisse avancer sur le reste, je vous en remercie infiniment à l'avance car cet exercice demande du temps+de la réflexion donc merci d'avoir lu!
Et bonne année les matheux!!
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