bonjour à tous,
J'ai un dm de math pour demain, il y a un exercice qui me pose un peu de problème si pouvez m'aider se serait très gentil alors voici l'énoncé et la correction en dessous enfin du moins mes réponses...
Le plan complexe est rapporté dans un repere orthonormé direct (0,u,v)
1) soit z un nombre complexe non nul et M le pt d'affixe z. on appel argument z un nombre reel a tel que (u,OM) vecteur = a (2pi).
soit s et t 2 vecteurs non nuls colinéaires si (s,t)=k pi.
démontrer que z est imaginaire pur si z=0 ou arg z= pi/2 + k pi
2) on désigne C l'ensemble des points M d'affixe z tel que z^3 soit un imaginaire pur.
a) le pt A d'affixe EXP (-ipi/6) appartient il a C?
b) on note B le pt d'affixe b=- √3 -i, calculer un argument de b et montrer que B appartient à C.
c) on suppose z différent de 0 et on pose z = r*exp(-ia), déterminer une condition nécessaire sur a pour que z^3 soit imaginaire pur.
d) après avoir vérifié que le point O appartient à C, déduire des resultats précédents que C est la réunion de 3 droites que l'on déterminera.
3) on veut résoudre F tel (z^3+8i)(z^3-8i)=0
a) en utilisant la forme exp de F montrer que toute solution de F à un module =2
b) en utilisant 2) démontrer que les solutions de F sont les affixes des points d'intersections d'un cercle de centre O avec l'ensemble C. donner la liste des solutions sous formes exp.
Mes réponses
1) z imaginaire pur soit z=0 soit z different de 0 avec arg(z)=pi/2
z=x+iy
z=r [cos(theta)+ i sin (theta)]
z= r[0+ i)=ir
2) a) z= exp(i*pi/2) z^3=(exp(i*pi/2)]^3 = exp(-i* pi/6)] donc A appartient à C.
2)b) b= - √3 -i
|b| = 2 b=2 [ -√3 /2 - i/2] =-2 [cos pi/3 + i sin pi/3] = - cos pi/6 - i sin pi/6 soit b= 2 exp (-i*pi/6)
2)c) z=r*exp (a*i)
z^3 imginaire pur si arg z= pi/2 (2pi) arg z^3 = (pi/2)^3 = pi/6 (2pi) donc z^3 imagionaire pur
z3 = 2^3 * [cos pi/2 + i sin pi/2]^3 = 8 [cos pi/6 + i sin pi/6] = 8 [ √3 /2 + i sin 1/2] = 4√3 + 4i
donc iùmaginaire pur??
d) C est la reunion de 3 droites car O a pour coordonées (0,0)
A= exp (-i*pi/6)
B = 2exp (-i*pi/6)
M = 4exp (i*pi/6)
Donc O appartient à C
déduire des résultats précédents que C est la réunion de 3 droites que l'on déterminera.
pour ca je bloque !!
3)
(z^3 + 8i)*(z^3 - 8i)=0
F = (4√3 + 4i + 8i) * (4√3 + 4i -8i)
F= (4√3 + 12i) * (4√3 - 4i)
F= 4[√3 + 3i)* (√3 - i)
= 4*(6 + 2i√3)=0
= 3+i√3=0
|F| = √12= 2√3
cos angle= x/|F| =3/2√3 =√3/2 ngle = pi/6
sin ngle = y /|F| = √3/2√3 = 1/2 angle = pi/6
soit F= exp(i *pi/6)
j'ai pas trouver le module de 2.
merci pour votre aide , j'espere que je ne me suis pas trop égarée.
camelia
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