Et une,et deux ,et trois suites :P

[inviteb8e73ec0]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide au sujet d'un exercice concernant les suites dont les dernières questions me posent problème.

Voici l'énoncé,ainsi que mes réponses aux premières questions :

(Un) est une suite définie par : Uo = -2 et n€N :
Un+1 = 1/4 (-Un+n)

Soit (Vn) une suite définie par n€N

,Vn = Un+1 - Un

Soit (Wn) tel que n€N ,Wn = Vn + a

1) Montrer que n€N,Un+1 = -(1/4)Vn + 1/4 (J'ai réussi cette question)
2) Determiner a tel que (Wn) soit géometrique (Rp : a = -(1/5))
3)Exprimer Wn et Vn en fonction de n (Rp : Wn = (2,3)x(-1/4)^n et Vn = (2,3)x(-1/4)^n + (1/5)
4) Montrer que Un = Vn-1 + Vn-2 + ..... + V0 + U0 (Je suis passé par l'éxpression de départ de Vn et j'obtient cela :

Vn-1 = Un - Un-1 <=> Un = Vn-1 + Un-1 (or si on se ramene à l'expression de Vn en fonction de Un,on obtient : Un-1 = Vn-2 + Un-2,etc... et on arrive à ce que nous donne l'énoncé)

5) En déduire Un en fonction de n
6) En déduire la limite de Un

Je bloque à la question 5 et je ne peux donc pas résoudre la question 6,c'est pourquoi je fait appel à vous.En effet,pour la 5) je ne vois absolument pas comment transformé cette somme,je pense qu'il faut se débrouiller avec (Wn) pour simplifier cette somme avec la formule du cours au sujet des sommes de termes consécutifs d'une suite géométrique.

Merci de votre aide ,Cordialement,Mistiratop
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[gg0]

Bonjour.

Pour la question 5, il faut séparer dans la somme les (2,3)x(-1/4)^n et les (1/5), ce qui donne une somme de termes d'une suite géométrique plus une somme de constantes.

Cordialement.

[inviteb8e73ec0]

C'est exactement à quoi j'ai pensé mais n'étant pas sur je ne voulais pas me lancer :P Merci beaucoup

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Je ne refais pas moi-même les calculs et comme vous ne les mettez pas je vais supposer que vos calculs sont justes (ils semblent cohérents en tout cas). Tout de même je précise, vous écrivez "Wn = (2,3)x(-1/4)^n", n'écrivez pas un nombre sous forme décimale. Le 2,3 il faut que vous le gardiez sous forme d'une fraction, en l'occurrence 23/10. De plus voir ça me donne vraiment l'impression que vous avez arrondi ce dont vous n'avez absolument pas le droit, vos égalités doivent rester exactes.
Autre remarque "si on se ramene à l'expression de Vn en fonction de Un,on obtient : Un-1 = Vn-2 + Un-2,etc... et on arrive à ce que nous donne l'énoncé", faites attention on ne dit pas "...etc" mais on dit "par récurrence" et on rédige correctement la récurrence. Je ne sais pas ce que vous avez écrit sur votre copie, je préfère donc le préciser.

Pour la question 5 je vais attendre que la remarque de gg0 porte ses fruits avant de rajouter quelque chose ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb8e73ec0]

Donc,si j'ai bien compris pour la 4) on fait une démonstration par récurrence avec biensur une rédaction impeccable
5) Diviser la somme en deux sommes,même si je pensais avoir compris sur ce coup-là,je ne comprends pas comment on fait pour arriver à Vo +Uo alors qu'a chaque fois on enleve 1,Vn-1,Vn-2,Vn-3.... Je vois flou x) si quelqu'un pouvez m'aider sur cette question je lui serai très reconnaissant.

Et sinon pour le 2,3 je ne me suis pas permis d'arrondir,j'ai effectivement trouvé 23/10

[gg0]

@ S321 : mauvaise remarque, 2,3 est exactement 23/10. Donc écrire l'un ou l'autre ne change rien.

@ Mistiratop "C'est exactement à quoi j'ai pensé mais n'étant pas sur je ne voulais pas me lancer" Drôle d'idée. Tu sais faire mais tu ne fais pas ? J'espère que tu sais que dans une somme, on peut additionner dans l'ordre qu'on veut. Donc tu savais que c'était juste. C'est malsain d'attendre qu'un autre te dise "fais-le" : Tu n'es pas un robot !
Mais ton dernier message montre que tu n'as pas l'envie d'essayer, tu attends simplement qu'on le fasse pour toi.

Au travail !

[inviteaf48d29f]

Je reconnais que j'avais surtout peur que le 2,3 soit un 7/3 arrondi, à mon avis c'est mieux de le garder sous forme de fraction et au pire de mettre un nombre en écriture décimal qu'à la toute fin mais au moins c'est juste. L'intérêt de ne pas écrire les nombres en décimal au milieu des calculs est que ça évite de se retrouver avec des écritures mixtes qui peuvent assez facilement rendre compliqués des calculs qui sont en réalité très simples.

Pour la question 5 vous savez deux choses :
Que (Ça ne vous pose pas de problème que j'écrive la somme sous cette forme ? Le point de suspension n'étant pas à mes yeux un symbole mathématiques, cette écriture me semble bien plus claire, mais il faut que vous la connaissiez)
Et vous savez aussi que pour k entre 0 et n-1 vous avez

J'ai fait exprès de bien vous écrire les indices avec les lettres qui correspondent pour que ça se voit bien. Il vous suffit de remplacer les v_k dans votre première expression ainsi que u₀ par -2, c'est donné dans l'énoncé.
Ça vous donne bien une expression de u_n qui ne dépend plus que de n, il ne reste qu'à simplifier l'expression et calculer la somme que vous avez écrite. La somme en question se coupe en deux, d'un côté vous avez la somme des 1/5 qui est facile à calculer, de l'autre côté vous avez une somme qui se factorise par 23/10 et ça vous laisse quelque chose dont le résultat est dans votre cours ^^.

[inviteb8e73ec0]

gg0 je suis loin la personne que tu imagines,j'ai essayé bien avant d'envoyer le poste de réaliser cette double somme mais je n'avais pas la bonne somme de départ ce qui pose un énorme soucis.Merci à S321,De m'avoir guidé pour le début c'est exactement ce que je n'arrivais pas à comprendre et à faire et oui je connais ce symbole,je sais ce qui me reste à faire merci beaucoup à vous deux.Je vous tiens au courant de la suite de ma résolution de l'exercice.

[inviteb8e73ec0]

Je trouve à la fin Un = -2 + [2.3 x (1-(-1/4)^n)/(1+(1/4))] + (n-1)/5

[inviteaf48d29f]

Presque. Ce n'est pas parce que la somme des 1/5 est simple qu'il ne faut pas faire attention, entre 0 et n-1 il y a combien de nombres ?

De plus ce n'est pas "la fin", cette expression peut se simplifier. La division de 2,3 par "1+1/4" se calcule (et comme je le disais on arrive à une écriture bâtarde entre décimal et fraction).

Une fois que ça c'est fait, la question 6 ?

[inviteb8e73ec0]

Il y a n termes,je continue ma resolution...

[inviteb8e73ec0]

5) Je trouve Un = -2 + (46/25) x 1 - (-0.25)^n + (n/5)
6) lim -2 = -2 , lim (46/25) x 1 - (-0.25)^n = (46/25) car lim (-0.25)^n = 0 car -1<(-0.25)<1,lim n/5 = + infini j'en déduis que lim Un = + infini

Bien entendu pour toutes les limites,j'écris en dessous n tend vers l'infini c'est juste que je ne sais pas les faire sur l'ordinateur bien que je suis certain qu'il faut utiliser latex ^^

[inviteaf48d29f]

Oui ça me semble juste. A part qu'il manque des parenthèses quand vous écrivez "(46/25) x 1 - (-0.25)^n" puisque la multiplication est prioritaire sur la soustraction et je ne vois pas vraiment l'intérêt de remplacer 1/4 par 0,25 non plus.

[inviteb8e73ec0]

[(46/25) x 1] - (-1/4)^n,voilà Merci pour votre aide

[inviteaf48d29f]

Euh, vous êtes sûr qu'elle est là la parenthèse ? Si c'est le cas simplifiez la multiplication par 1 parce que bon [(46/25) x 1] = 46/25 et alors vos limites sont fausses....

[inviteb8e73ec0]

Ah oui excusez moi, -2 + 46/25 x[ 1 - (-0.25)^n],c'est ça?

[inviteaf48d29f]

A vous de me le dire. Vous êtes censé avoir écrit une preuve mathématiques de ce que vous avancez. Une preuve bien écrite ça doit au moins être convaincant, si vous n'arrivez pas à vous convaincre vous-même ce n'est pas très bien parti

[inviteb8e73ec0]

Je penche plus pour -2 + [ 46/25 x (1 - (-1/4)^n)],cela me parait plus logique

PS : désolé pour ce souci de parenthèses,c'est vrai que sur l'ordi j'ai plus de mal qu'a l'écrit car les fractions me semblent moins clair

[gg0]

Si on connaît les règles de priorité des opérations (on les voit en début de collège), on sait que -2 + 46/25 x[ 1 - (-0.25)^n] et -2 + [ 46/25 x (1 - (-1/4)^n)] sont le même nombre puisque 1/4=0,25. Et on sait que dans la deuxième écriture, le crochet est superflu.

Cordialement.

[inviteb8e73ec0]

Oui donc en gros je ne me suis pas trompé Merci beaucoup pour votre aide

[inviteaf48d29f]

"En gros" ? Soit on dit des choses exactes soit on dit des choses fausses, en maths avoir raison en gros, bien souvent, c'est avoir tort.

[inviteb8e73ec0]

Je me doutais que vous n'aimeriez pas le "en gros",desolé c'est vrai que ce n'est pas rigoureux,Merci beaucoup pour votre aide.

[invite5756bcb3]

Ne t'excuse pas. Tu es là pour chercher à comprendre, poser des questions, exprimer tes doutes. Il n'y a pas de honte à oublier un point vu des années auparavant, surtout que vous (tous) ne faites pas que des maths et que vous n'en ferez surement pas après. Donc l'important c'est de bien consolider son savoir (passer du "en gros" au "en totalité...) et de ne pas seulement appliquer le cours "bien appris" de manière réflexe sur des exercices types. Continuez à chercher et à travailler, ce qui en restera sera vraiment utile et plaisant.