fonction exponentielle

[kaderben]

Bonjour
f(t)=5e^(-0.5*ln(2))t sur [0;+oo[
f(t) désigne la population de cellules à l'instant t, t en heures et f(t) en millions
1) vérifier vque f(t+2)=1/2*f(t)
2)La population initiales est de 5 millions de cellules.
Au bout de combien d'heures il reste 750 000 cellules.

1) f(t+2)=5e^((-0.5*ln(2))(t+2))
et enfin on trouve bien f(t+2)=1/2*f(t)
2) Je remarque que la population est divisée par 2 toute les 2 heures et je pense à une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme 5 millions, mais comment présenter tout ça ?
A l'instant t, Un=5*10^6*0,5^n

5*10^6*0,5^n=0,75
0,5^n=0,15*10^(-6)
n=ln(0,15*10^(-6))/(ln0,5)
n environ 22,67
Est ce que cela fai 22,67*2=45,34 heures ou bien 22,67 heures ?
En plus je ne suis pas sûr de mes calculs.
Merci pour vos commentaires
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[invite5756bcb3]

il faut bien multiplier le n par 2 pour avoir des heures puisque n représente des intervalles de 2 heures. ça c'est bon. Mais le calcul est faux.
D'un coté, il y a des unités de cellules (5.10^6) et de l'autre des millions (0,75)
soit tu écris des unités partout (donc 0,75.10^6 à droite) soit des millions partout (5 à gauche)

[kaderben]

Bonjour
effectivement:5*0,5^n=0,75
donc n=2,736
Mais est un entier et il faut donner le temps en heures et minutes
Alors comment choisir n entier ? ce n'est pas possible car le temps sera 5 heures et 0 minutes alors que
2,736*2=5,47.. c'est à dire 5 heures et 28 minutes.
J'avoue que je ne vois pas comment choisir n
Merci pour les commentaires.

[gg0]

Bonjour.

Ici, le nombre de cellules est suffisamment important pour pouvoir travailler en continu.
Donc si ton calcul donne t=5,47.. c'est la valeur attendue (c'est bien un nombre d'heures).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Bonjour,

Si f(t) est la population de cellules en millions, pourquoi ne pas simplement poser f(t) = 0.75 pour trouver le temps au bout duquel il ne reste plus que 750000 cellules? (ce qui donne bien t=5.47)

A moins que je n'ai loupé quelque chose?

[invite7d5daeb5]

C'est une inéquation que tu dois résoudre pour répondre à la question à partir de combien d heures la population devient elle inferieure à 0,75 millions.
Soit f(t) < 0,75
f (t) /5 <0,15
En composant avec ln, cela donne
- (0,5 ln 2 ) t < ln 0,15
Soit t > ln 0,15 / (- 0,5 ln 2 ) soit t> 5,47
Donc c'est à partir de 6 heures ( entières ) que la condition est réalisée.
Si on te demande en h min tu convertis mais en faisant attention de bien garder un majorant du résultat exact.

[invite7d5daeb5]

Pour être rigoureux il faut préciser que f est bien strictement decroissante sur R + car sa dérivée est strictement negative

[kaderben]

t est un réel donc cela ne pose aucun probleme, c'est pour le n entier que je ne savais pas comment s'y prendre.
gOO a suggéré que n peut être réel car le nombre ce cellules est important.
Merci pour vos réponses.