Exercice produit scalaire / équation de cercle

[invite7d136f8a]

Bonjour,
J'ai un DM à rendre pour la rentrée et je coince pour cet exercice:

On donne les points A (-1 ; 2) , B (3 ; 4) , M est un point de coordonnées (x ; y)

1) Calculez, en fonction de x et y, (ce sont des vecteurs): (MA + MB).MA

2) Prouvez que les points M tels que (MA + MB).MA = 0 sont situés sur un cercle dont on précisera le rayon et les coordonnées du centre.

Mes réponses:

1) J'ai trouvé x² + y² - 5y + 5

2) Je ne vois pas du tout comment m'y prendre. Je sais que je dois me servir de l'équation trouvée dans la question précédente mais je ne sais pas comment.

Pourriez-vous m'aider ?
Merci beaucoup, Emilie
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[invite0c8d8548]

Bonjour,
Je suis aussi en première S mais je n'ai pas vu ce chapitre...
Mais, d'après ce que je sais, l'équation d'un cercle se résume à x²+y²=z...
En tout cas, revois ton cours pour ça...
Après, tu poses x²+y²-5y+5=0 et tu essaie de retrouver la formule du cercle de ton cours...
Aide qui vaut ce qu'elle vaut...

[invite0c8d8548]

Resalut,
Après relecture, la propriété de ton cours te dit le cercle de diamètre AB est l'ensemble des points M tel que : (ce sont des vecteurs) MA+MB=0
De plus, utilise le produit scalaire x'x+y'y...
Tu retombera sur une équation de cercle...
A+

[invite8fce9875]

Bonjour

Je suis moi aussi en 1ere S et nous n'avons pas vu ce chapitre non plus pour l'instant... Cependant, je pense que tu t'es trompée à la question 1 parce que j'ai trouvé (MA+MB).MA=2×(x^2+(y-5/2)^2 - 13/2) et donc à ce moment-là il s'agirait d'un cercle de centre (0,5/2) et de rayon 0,5racine carrée de 26 (désolée je ne sais pas trop comment on fait une racine carrée).

Bon courage

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d136f8a]

x²+y²-5y+5=0 est déjà une équation de cercle.

Tout cela ne m'aide pas vraiment.

gabri3ll3 : Non, ma 1ère question est juste, je me suis aidée d'une correction trouvée que j'ai bien comprise.

J'attends seulement ici une aide pour débuter la question 2.

[invite2c46a2cb]

Bonsoir aux lycéens,

Je rappelle que dans le plan, l'équation d'un cercle est de la forme :
où :
sont les coordonnées du centre du cercle
est le rayon du cercle.

Il ne te reste donc plus qu'à transformer ton équation en "quelque chose de cette forme", et d'identifier les caractéristiques (centre, rayon).
Pour cela, il faut penser à mettre les semblants de polynômes sous-forme canonique.

Cordialement.

[pallas]

un simple exemple x²-3x+y²+4y-1=0 donne facilement (x-3/2)²-9/4 +(y+2)²-4-1=0 soit (x-3/2)²+(y+21)²= 29/4 soit cercle de centre A(3/2;-2) et de rayon rac(29)/2

[invite7d136f8a]

Bonsoir,

Je trouve x² - (y-5/2)² = 5/4
Donc le centre du cercle a pour coordonnées (0 ; 5/2) et pour rayon (racine de 5)/2

C'est ça ?

Mais je ne vois pas le lien avec le début de la question en fait. On nous parle d'un produit scalaire nul, alors qu'en fait on ne doit pas s'en servir ni quoi que se soit ?

[invite2c46a2cb]

Je trouve x² - (y-5/2)² = 5/4
Donc le centre du cercle a pour coordonnées (0 ; 5/2) et pour rayon (racine de 5)/2

C'est ça ?

Oui, c'est ça Emilie !

Mais je ne vois pas le lien avec le début de la question en fait. On nous parle d'un produit scalaire nul, alors qu'en fait on ne doit pas s'en servir ni quoi que se soit ?

La deuxième question était la suivante :

2) Prouvez que les points M tels que (MA + MB).MA = 0 sont situés sur un cercle dont on précisera le rayon et les coordonnées du centre.

Et pour la résoudre, on s'est bien servi de la question 1, à laquelle on a trouvé "(MA + MB).MA = x² + y² - 5y + 5". On a ainsi pu réutiliser l'expression pour trouver l'équation de cercle.

_________________________

NB :

Resalut,
Après relecture, la propriété de ton cours te dit le cercle de diamètre AB est l'ensemble des points M tel que : (ce sont des vecteurs) MA+MB=0

Alors non, ça c'est faux. On a
Autrement dit, et sont opposés.. Donc l'ensemble des points est un seul point, le milieu de , c'est donc simplement le centre du cercle !

[invite7d136f8a]

Merci beaucoup ! Bonne soirée !

[invite7d136f8a]

Bonjour!

Je reviens demander de l'aide pour un exercice dont l'énoncé est le suivant:


Mes réponses:
1) x² + y² - 2x + 4y - 3
2)a) Faut-il se servir du repère ou bien de l'équation ? Car en me servant du repère je ne parviens pas à faire la b, les produits scalaires demandés ne sont pas égaux.

Merci beaucoup

[invite2c46a2cb]

Bonjour!

Re-salut !

1) x² + y² - 2x + 4y - 3

Attention, dans une équation, y'a forcément un signe égal, absent ici. D'autre part, je ne sais pas si cette "partie d'équation" est juste, mais en tout cas on préferera la forme canonique suivante, qui permet de voir les caractéristiques du cercle plus rapidement : , où sont les coordonnées du cercle et le rayon (je l'avais précisé plus haut il me semble).

2)a) Faut-il se servir du repère ou bien de l'équation ? Car en me servant du repère je ne parviens pas à faire la b, les produits scalaires demandés ne sont pas égaux.

Tu auras forcément besoin du repère pour tous les points. Pour A et B, une lecture simple suffit. Pour les deux autres, on lira directement l'abscisse, et on en déduira l'ordonnée d'une autre manière (c'est faisable avec l'équation, mais aussi avec Pythagore, je te laisse voir comment !)

[gg0]

En se servant de l'équation, on se ramène immédiatement à des équations du second degré.

Cordialement.

[invite7d136f8a]

La nuit m'a porté conseil, je me suis réveillée en me disant qu'en effet, je devais me ramener à résoudre une équation du second degré !
J'ai bien trouvé OA.OB = OC.OD comme le suggère la question 2)b).

Merci à tous, bonne journée !