Géométrie dans l'espace !

[Lilly45]

Bonjour Je suis en terminale S, j'ai un petit dm à rendre pour la fin de la semaine prochaine en Maths, et je bute depuis pas mal d'heures sur la question 2)a). (Naturellement, pour la 2)b) aussi et la c) j'y suis encore loin)

Est-il possible que quelqu'un m'aide, me donne un petit coup de pouce ?
Bonne fin de journée à tous !

Voilà l'énoncé :

On se propose d'étudier une modélisation d'une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites dans l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O; i; j; k) d'unité 1km. Le plan (O; i; j) représente le sol.
Les deux "routes aériennes" à contrôler sont représentées par deux droites (D1) et (D2), dont on connaît des représentations paramétriques :

(D1) x= 3 + a
y= 9 + 3a
z = 2

(D2) x= 0,5 + 2b
y= 4 + b
z = 4 - b

Avec (a,b) appartenant à R


1) a. Indiquer les coordonnées d'un vecteur u indice 1 directeur de la droite (D1) et d'un vecteur u indice 2 directeur de la doirte (D2)

b. Prouver que les droites (D1) et (D2) ne sont pas coplanaires.

2) On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, des coordonnées S(3; 4; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée (R). Soit (P1) le plan contenant S et (D1) et soit (P2) le plan contenant S et (D2)

a. Montrer que (D2) est sécante à (P1)

b. Montrer que (D1) est sécante à (P2)

c. Un technicien affirme qu'il est possible de choisir la direction de (R) pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2).
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.
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[gg0]

Bonjour.

Tu peux déterminer l'équation de P1 (par la méthode que tu veux), puis montrer qu'il existe bien une valeur de b qui fait que le point de (D2) correspondant est dans le plan.

Bon travail !

[Lilly45]

Je tiens à vous remercier pour la réponse.
Un plan, ça se modélise avec un point et deux vecteurs.
Je peux utiliser l'équation paramétrique de (D1) qui est contenue dans P1 pour déterminer l'équation de ce plan P1.
les coordonnées d'un vecteur qui définit ce plan pourrait être u(1, 3, 0), mais pour l'autre, je fais comment ? Le point, j'ai ses coordonnées : (3, 9, 2)

[joel_5632]

bonjour

A partir de l'équation "paramétrique" de (D1)

(D1) x= 3 + a
y= 9 + 3a
z = 2

Tu obtiens tout de suite le vecteur directeur et un point de la droite D1.
Ce point et ce vecteur appartiennent aussi au plan (P1) (Pour le vecteur, le terme "appartient" ne convient pas trop)

Puis tu as le point S(3; 4; 0,1) qui appartient au plan (P1). Le vecteur est aussi un vecteur du plan. ça te fait bien 1 point et deux vecteurs pour définir le plan (P1).

A partir de là, pour montrer que la droite D2 est sécante à (P1), le plus simple est de montrer que la famille de vecteursforment un système libre mais est-ce au programme de la TS ? Pas sur.

sinon on peut toujours expliciter l'équation du plan (P1) sous la forme ax+by+cz+d=0 et chercher l'intersection avec (D2)

Pour trouver cette équation, il faut un vecteur W orthogonal à et à (produit vectoriel si au programme de TS) puis dire que le plan est l'ensemble des points M tels que

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lilly45]

"A partir de là, pour montrer que la droite D2 est sécante à (P1), le plus simple est de montrer que la famille de vecteurs forment un système libre mais est-ce au programme de la TS ? Pas sur." => oui je pense que je vais plus facilement me débrouiller en prenant ce chemin
On a pas encore évoqué dans le cours pour le moment le produit vectoriel, ni l'outil que vous avez énoncé sur le vecteur orthogonal au plan.

Mais comment montrer à partir des équations du plan P1 que D2 est sécante à ce même plan? On égalise comme pour deux droites ?

[Lilly45]

J'ai noté
P1 passe par A1(3;9;2) et a pour vecteurs directeur u1 (1; 3; 0) et A1S (0; -5; -1.9)
On a donc
P1
x= 3 + j
y = 9 + 3j - 5k
z = 2 - 1.9k

Maintenant, quelle est la méthode pour montrer que D2 est sécante à P1 svp ?

[joel_5632]

oui, ça a l'air correct

x= 3 + j
y = 9 + 3j - 5k
z = 2 - 1.9k

est l'équation paramétrique du plan (P1). Les paramètres sont j et k

puis tu as

(D2) x= 0,5 + 2b
y= 4 + b
z = 4 - b

Pour montrer qu'il y a un point d'intersection entre P1 et D2, il te faut prouver que le système suivant a une solution unique:

3 + j = 0,5 + 2b
9 + 3j - 5k = 4 + b
2 - 1.9k = 4 - b

c'est un système de 3 équations à 3 inconnues. C'est assez pénible à résoudre.

et les coordonnées du point d'intersection (si solution unique) sont:

x =3 + j = 0,5 + 2b
y = 9 + 3j - 5k = 4 + b
z =2 - 1.9k = 4 - b

[Lilly45]

Le fait que ce soit pénible ou pas, c'st pas un problème, je bute sur ce problème depuis plusieurs heures, des heures de plus c'est pas ça le problème.
Une solution unique ? Comme je dois montrer que D2 est sécante à P1, forcément, je dois trouver une solution unique.
Mais... ça veut dire quoi, que j=k=b ?
(merci)

[joel_5632]

Une droite peut être sécante, parallèle ou confondue à un plan, donc quand on cherche l'intersection entre un plan et une droite on peut avoir une seule solution (un point), aucune ou une infinité.

Comme tu veux montrer que D2 est sécante avec P1, cela revient à montrer que le système
3 + j = 0,5 + 2b
9 + 3j - 5k = 4 + b
2 - 1.9k = 4 - b
a une unique solution. A la limite peu importe laquelle, on ne demande pas les coordonnées de l'intersection

> Mais... ça veut dire quoi, que j=k=b ?

Rien de spécial. Je vois pas ce que tu demandes.

Peut être ne comprends tu pas bien pourquoi la résolution du système de 3 equations à 3 inconnues donne l'intersection entre P1 et D2 ?

Soit (j, k, b) la solution au système

3 + j = 0,5 + 2b
9 + 3j - 5k = 4 + b
2 - 1.9k = 4 - b

alors

x = 0,5 + 2b
y = 4 + b
z = 4 - b

est un point de la droite D2

x = 3 + j
y = 9 + 3j
z - 1.9k

est un point du plan P1

Or c'est le même point puisque

3 + j = 0,5 + 2b
9 + 3j - 5k = 4 + b
2 - 1.9k = 4 - b

C'est donc bien le point intersection

[Lilly45]

je crois avoir trouvé
b= 59/58
j = -27/58
et là je suis en train de calculer k.
Mais c'est normal que je trouve ces solutions ?

[Lilly45]

Ah ok. Mais ça me paraissait comme injustifié de répondre à cette question de la sorte. J'ai jamais eu à résoudre ce genre de problèmes.
Mais on a pas montré que cette égalité était vraie avec votre démarche, comme on a pas les valeurs des inconnues, non?

[joel_5632]

pour la résolution du système
http://www.wolframalpha.com/input/?i...1.9k+%3D+4+-+b

Comme je l'ai indiqué, on veut montrer qu'il y a une solution unique, donc le déterminant du système doit être non nul (si tu connais les déterminants en TS, méthode de Cramer). C'est un peu plus simple que de résoudre le système.

> Mais on a pas montré que cette égalité était vraie avec votre démarche, comme on a pas les valeurs des inconnues, non?

Tu veux dire qu'on a pas les coordonnées (x, y z) du point d'intersection ?

Une fois qu'on a (j, k, b) on peut déterminer le point d'intersection

x = 0,5 + 2b
y = 4 + b
z = 4 - b

ou

x = 3 + j
y = 9 + 3j - 5k
z = 2 - 1.9k

évidemment, c'est le même point

[Lilly45]

J'étais pas rigoureuse dans mon expression, quand je parlais "d'inconnues" je parlais juste des valeurs de k,b,j qu'on cherche pour avoir les coordonnées du point d'intersection en question. Sinon je ne crois pas qu'on ait vraiment répondu à la question.
La méthode de Cramer, le déterminant d'un système, ça ne me parle pas. Je vais résoudre le système sans cette technique, c'est pas grave.

[joel_5632]

>> Mais ça me paraissait comme injustifié de répondre à cette question de la sorte.

Reviens demain, peut être que gg0 donnera son avis.

>je parlais juste des valeurs de k,b,j qu'on cherche pour avoir les coordonnées du point
> d'intersection en question.
>Sinon je ne crois pas qu'on ait vraiment répondu à la question.

oui, il faut montrer qu'il y a un unique (k, j, b) solution, on peut le faire en résolvant le système. Je ne l'ai pas résolu parce que c'est pénible. Toi tu dois le faire

[Lilly45]

ça marche, merci pour votre aide.

[ansset]

Tu peux simplifier plus vite.
1) 3+j=0,5+2b
2) 9+3j-5k=4+b
3) 2-1,9k=4-b

3*eq 1) – eq 2) te donne une équation entre k et b
3) est une autre équation entre k et b
D’où k et b
Tu en déduis j de l’une des deux premières

Au final tu as bien une solution unique

[gg0]

Ah ok. Mais ça me paraissait comme injustifié de répondre à cette question de la sorte.

Pourquoi injustifié ? Il s'agit d'une simple traduction de la question.

J'ai jamais eu à résoudre ce genre de problèmes.

Et alors ? Il faut bien une première fois !

Mais on a pas montré que cette égalité était vraie avec votre démarche, comme on a pas les valeurs des inconnues, non?

Effectivement, tant que tu ne justifies pas que le système a une solution j= ..., k= ..., b= ... (il pourrait ne pas en avoir), tu n'as pas fait la preuve que le plan et la droite se coupent. S'ils sont parallèles, justement ce système n'aura pas de solutions.

Cordialement.