Limite et intégrale

[invite15f44ec7]

Salut tout le monde,
Je suis élève en terminale S (j'ai passé le BAC).
SVP je n'arrive pas à résoudre cet exercice. J'ai essayé plein de choses mais je n'y arrive pas. Pouvez-vous m'aider? Merci d'avance!

Soit une fonction continue sur .

Montrer que
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[invite15f44ec7]

Ca y est j'ai trouvé sur ce forum:
http://math.stackexchange.com/questi...ghtarrow-infty
Désolé pour toute peine causée.

[Seirios]

Bonsoir,

Je n'ai pas trop regarder les solutions données dans le lien, mais voici un argument possible (au delà du programme TS) :

On écrit comme limite uniforme de polynômes (théorème de Weierstrass); on vérifie aisément le résultat pour les polynômes (quelques lignes de calculs), et on déduit le résultat général en intervertissant les limites grâce à la convergence uniforme.

Maintenant, on peut éviter le théorème de Weierstrass. Grâce à la continuité uniforme, on approxime par des fonctions étages, que l'on approche elles-mêmes par des fonctions . On trouve ainsi une suite de fonctions convergeant uniformément vers . On pourra donc supposer que est-elle même . Par intégration par partie, on en déduit que

.

En bornant les fonctions et par une constante (en utilisant la continuité), on trouve que deux dernières intégrales tendent vers zéro, d'où la limite recherchée.

[invite15f44ec7]

Merci pour ta réponse! J'ai essayé de comprendre. En faisant des recherches, j'ai compris la première méthode, mais pas la deuxième. D'ailleurs la fonction n'est pas dérivable. Mais merci beaucoup pour ta réponse. Il paraît que le supérieur est trèèèèès intéressant!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

En faisant des recherches, j'ai compris la première méthode, mais pas la deuxième. D'ailleurs la fonction n'est pas dérivable.

La première méthode consiste à regarder comme une limite uniforme de polynômes. C'est un résultat qui n'est pas trivial, mais il est plutôt facile de montrer que est limite uniforme de fonctions de classe . On raisonne alors comme pour les polynômes : on vérifie le résultat pour les fonctions (c'est l'expression que j'ai écrite), et on remarque que le résultat passe à la limite.

[invite15f44ec7]

Je vois j'ai compris. Merci beaucoup!

[invite5a799d14]

Cette fonction etant continue sur [0,1] n'aurait elle pas une valeur mini et maxi ? ... un maximum en valeur absolue K
Elle peut peut etre majoree par une fonction du style g(x)=k de 0 à 1-1/n , puis la droite respectant g(1-1/n)=k g(1)=f(1)..
La limite de la somme ce ces 2 integrales est f(1), la premiere partie etant 0
... En faisant pareil avec h(x)=-k de 0 à 1-1/n et en prolongeant avec la droite h(1-1/n)=-k h(1)=f(1) a les meme propriete
La limite de notre integrale est comprise entre f(1) et f(1) ...
Notez que cette majoration est valide au dela d'un certain n (sinon f ne serait pas continue en 1)
Je developpe pas le calcul, mais y'a des chances que ca marche ..
...pensez que lim t ^n vaut 0 sur [0,1[, et 1 en 1.

[invite15f44ec7]

Oui on m'a proposé ceci:
Soit tels que

On a

Or on a



Ça tend vers 0.

Puis en utilisant le théorème de la moyenne:



Quand tends vers alors tends vers 1 d'où la limite est f(1).

[invite5a799d14]

Cette reponse est plus jolie que la mienne.

L'idee est la meme a savoir lim t ^n vaut 0 sur [0,1[ et 1 en 1
Et la mienne comportait une erreur , pour avoir cette majoration, f devait etre derivable en 1.
Exemple ... Si f est un demi cercle entre 0 et 1, ma suite de fonction ne majorait pas f.
Cela dit , en ajoutant un o(n) , ca passait certainement.

J'aimais bien le coup de la majoration minoration.

[invite15f44ec7]

Désolé je ne vois pas pourquoi. g majore bien f sur [0,1-1/n]. Sur [1-1/n,1], il est possible de la majorer avec certaines fonctions. Quel que soit la courbe de f, tu peux manuellement tracer celle de g non?

[invite5a799d14]

... pas de pb sur ta demonstration elle est bonne.
La mienne etait un peu courte a droite ...
Prends le demi cercle , fonction continue en 1 (pas derivable), (x-0.5)2+y2=0.25.. y=racine(0.25-(x-0.5)2)
mais sa derivee est infinie a gauche de 1
Je ne pouvais pas la majorer avec ma suite de fonction au voisinage de 1 , car la derivee de ma fonction est finie (un plat au max du demi cercle , puis une droite oblique entre n/n+1 et 1 . Sa derivee depends de n style 1/n ou 1/n+1... elle ne majore pas ce demi cercle au voisinage de 1 quelque soit n.. Le demi cercle a une derivee -infinie en 1

Bref c la meme idee mais j'ai commi une erreur.

[invite15f44ec7]

ah oui c'est vrai vous avez raison!